спектральный радиус матрицы

[ecartman]

Добрый день!

Требуется оценить как влияет пертурбация матрицы на значение ее спектрального радиуса. Есть известные результаты для произвольных собственных значений, но интересует именно максимальное. Посоветуйте, пожалуйста, ссылку или несколько по этому вопросу.

Спасибо.

[AV_77]

А как вы эту матрицу пертурбируете?

[matidiot]

AV_77 в сообщении #697735 писал(а):

А как вы эту матрицу пертурбируете?

Пертурбация (perturbation) в переводе означает "возмущение". Наверно, имеется в виду, что каждый элемент матрицы имеет возмущение первого порядка малости.

[ecartman]

Задачка такая: есть уравнение $\lambda x = A x$, где $\sum_i x_i=1$, и нужно максимальное по модулю $\lambda$. И рассмотрим уравнение $\sigma y=(A+E) y$, тоже относительно наибольшего по модулю $\sigma$. Требуется оценить сверху $|\lambda-\sigma|$. Матрицы $A$ и $E$ полностью известны, и действительные. Можно еще добавить что $A$ состоит только из неотрицательных элементов. Под пертурбацией я понимаю добавление $E$ к $A$.

[TOTAL]

ecartman в сообщении #697753 писал(а):

Задачка такая: есть уравнение $\lambda x = A x$, где $\sum_i x_i=1$, и нужно максимальное по модулю $\lambda$. И рассмотрим уравнение $\sigma y=(A+E) y$, тоже относительно наибольшего по модулю $\sigma$. Требуется оценить сверху $|\lambda-\sigma|$. Матрицы $A$ и $E$ полностью известны, и действительные. Можно еще добавить что $A$ состоит только из неотрицательных элементов. Под пертурбацией я понимаю добавление $E$ к $A$.

$\sigma=\lambda+1$

[ecartman]

TOTAL в сообщении #697758 писал(а):

ecartman в сообщении #697753 писал(а):

Задачка такая: есть уравнение $\lambda x = A x$, где $\sum_i x_i=1$, и нужно максимальное по модулю $\lambda$. И рассмотрим уравнение $\sigma y=(A+E) y$, тоже относительно наибольшего по модулю $\sigma$. Требуется оценить сверху $|\lambda-\sigma|$. Матрицы $A$ и $E$ полностью известны, и действительные. Можно еще добавить что $A$ состоит только из неотрицательных элементов. Под пертурбацией я понимаю добавление $E$ к $A$.

$\sigma=\lambda+1$

Матрица $E$ не есть единичная матрица. Это просто произвольная матрица.

[TOTAL]

ecartman в сообщении #697791 писал(а):

Матрица $E$ не есть единичная матрица. Это просто произвольная матрица.

Тогда $\sigma$ - произвольное число

[ecartman]

TOTAL в сообщении #697799 писал(а):

ecartman в сообщении #697791 писал(а):

Матрица $E$ не есть единичная матрица. Это просто произвольная матрица.

Тогда $\sigma$ - произвольное число

Это да. Меня больше интересовал ответ в терминах $\|E\|_\infty$.

[g______d]

$\|E\|+\|A\|$.

Пример: $A$ --- жорданова клетка с единицами на побочной диагонали и нулями на всех остальных позициях, $E=A^*$. Тогда $\|E\|=\|A\|=1$, спектральный радиус обеих матриц равен 0, а спектральный радиус $E+A$ стремится к 2, если устремить размерность к бесконечности.