2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 14:34 
Рассмотрим группу $SL(2, \mathbb R)$.
Доказать, что элемент
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}$$
не лежит в образе экспоненциального отображения.

Помогите, пожалуйста! Должно быть не трудно, но что-то не получается. Пока проверил только, что элемент не имеет квадратного корня.

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 20:06 
Аватара пользователя
Экспонента от действительного числа число положительное. Может это как-бы намекает ...

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 21:17 
Не понял :(

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 21:23 
Аватара пользователя
akon в сообщении #697580 писал(а):
Пока проверил только, что элемент не имеет квадратного корня.


Докажете, что если элемент является экспонентой, то он имеет квадратный корень (можно догадаться, как он будет выглядеть).

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 21:40 
$A=e^B=(e^{B/2})^2$
Так?

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение18.03.2013, 21:47 
Аватара пользователя
akon в сообщении #697877 писал(а):
$A=e^B=(e^{B/2})^2$
Так?


Ну например.

Конечно, можно проще, если посмотреть на то, как связаны собственные значения матрицы и ее экспоненты, см. другие ответы в этой теме.

 
 
 
 Re: экспоненциальное отображение
Сообщение19.03.2013, 15:25 
g______d в сообщении #697886 писал(а):
Конечно, можно проще, если посмотреть на то, как связаны собственные значения матрицы и ее экспоненты,

Не так быстро: собственные числа вещественной матрицы вполне могут быть комплексными. Так что так сходу эта логика не срабатывает.

Можно, например, так:

$e^B=A\ \Leftrightarrow\ B=\operatorname{Ln}A=i\widetilde E+\ln(E-N)=i\widetilde E-N-\frac12N^2-\frac13N^3\cdots\equiv i\widetilde E-N,$

где $E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$, $N=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ и $\widetilde E=\begin{pmatrix} \pi+2\pi k & 0\\ 0 & \pi+2\pi m\\ \end{pmatrix}\neq$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$, так что вещественных решений нет.

Но через квадратный корень, разумеется, гораздо проще.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group