Не сходится ответ при интегрировании. ТФКП.

[KaDeaT]

Вычислить интеграл
$\int_{S}^{} \frac 1 {\sqrt[4]{z}} dz$
$S:|z|=1, 0 \leq \arg(z) \leq \pi $
при условии $\sqrt[4]{1}=i$
Для $\sqrt[4]{z}$ будет иметь 4 значения. Нашему условию удовлетворяет $k=1$. Т.е.
$\sqrt[4]{z} = \cos(\frac {\varphi+2\pi} {4}) + \sin(\frac {\varphi+2\pi} {4})$

Я решил используя формулу Ньютона-Лейбница.

Имеем
$\int_{1}^{-1} \frac 1 {\sqrt[4]{z}} dz = $
$= 4/3(\sqrt[4]{-1^3} - \sqrt[4]{1^3}) =$
$= 4/3(\sqrt[4]{-1} - \sqrt[4]{1}) $

$\sqrt[4]{1} = i$ по условию.
$\sqrt[4]{-1} \cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4) = -\sqrt{2}/2 +i\sqrt{2}/2$
Собираем воедино, получаем ответ
$4/3 (-\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2 -i)$

Мои одногрупники решили иначе, используя замену.
$z=e^{i\varphi};$
Тогда
$ dz=i\e^{i\varphi}d\varphi$

Имеем
$i\int_{0}^{\pi} \frac {e^{i\varphi}} {e^{i(\varphi/4 +\pi/2)}} d\varphi=$
$i\int_{0}^{\pi} {e^{i(3\varphi/4 -\pi/2)}}d\varphi=$
$4/3 (e^{i\pi/4} - e^{-\pi/2})=4/3 (\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2 +i)$

Сначала я вообще не видел ошибок ни у себя ни у них, но ответы разнились в знаках. Потом выяснилось, что если кубы не вносить под знак корня, то ответы сойдутся. Но ведь нет разницы так $\sqrt{z^3}$ или так $\sqrt{z}^3$

Или в ТФКП такое равенство не выполняется? А может я еще где-то ошибся, подскажите пожалуйста.

[ИСН]

В ТФКП многие равенства выполняются неожиданным образом, типа "ни денег, ни топора, ещё рубль должен, и всё правильно". Чему, по-Вашему, равен $\sqrt[4]{-1}$?

[KaDeaT]

Здравствуйте. Ну там 4 значения.
При $k=0$:
$\sqrt [4] {-1} = \sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2$

При $k=1$:
$\sqrt [4] {-1} = -\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2$

При $k=2$:
$\sqrt [4] {-1} = -\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2$

При $k=3$:
$\sqrt [4] {-1} = \sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2$

[ИСН]

Замечательно. Ну и как он может быть равен какому-то другому выражению, если он даже сам себе не равен?

[KaDeaT]

А как же тогда быть в таких случаях? Ведь способы должны быть эквивалентны. Как узнать без проверок, что я решил правильно?

Ну и у нас же задано конкретное значение к.

[ИСН]

C учётом указанного значения k (так не говорят, кстати, ну да неважно), чему равен $\sqrt[4]1$? А его куб? А $\sqrt[4]{1^3}$?

[KaDeaT]

При $k=1$:
$\sqrt [4] {1} = i

Его куб, равен соответственно $(\sqrt [4] {1})^3 = i^3 = -i $

$1=\cos(0)+i\sin(0)$
$1^3 = \cos(3\cdot0)+i\sin(3\cdot0)=1$
Следовательно,
$\sqrt [4] {1^3} = i$

[ИСН]

Вот и ответ на вопрос

KaDeaT в сообщении #697305 писал(а):

Но ведь нет разницы так $\sqrt{z^3}$ или так $\sqrt{z}^3$

[KaDeaT]

В этом я уже убедился. Таким образом в ТФКП всегда, когда переходим от записи $z^{m/n}$ к корню, всегда следует выносить степень за знак корня $(\sqrt[n] {z})^m$ ?

[ИСН]

Выносить или не выносить - неважно. Оба выражения имеют один и тот же смысл, и n разных значений. Нужна какая-то дополнительная информация, чтобы понять, какое значение имеется в виду.

[KaDeaT]

Одни проблемы с этим методом.

Спасибо, что уделили мне время.