Предел

[SpBTimes]

Дана определенная на всей оси действительная, дифференцируемая, с периодом 1 функция $f(x)$, причем в любой точке $x$ выполнено $|f'(x)| < 1$. И пусть $p(x): x \to x + f(x)$. Доказать, что:
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x + p(x) + ... + p(p(... p(x) ...))}{n^2}$ существует и не зависит от $x$. (в числителе $n$ слагаемых).

Вроде пытался так: $a_0 = x$, тогда $a_n = p(a_{n-1})$, и по т.Штольца все сводится к отысканию предела:
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{2n + 1}$. Но дальше непонятно, особенно как использовать периодичность?

[xmaister]

Может еще раз проштольцировать и применить теорему о среднем, чтобы неравенство с производной использовать?

[SpBTimes]

Я пробовал, но
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{2}$
$|a_{n+1} - a_n| = |p(a_n) - p(a_{n-1})| = |p'(c)(a_n - a_{n - 1})| \leqslant 2|a_n - a_{n - 1}|$
Продолжая уменьшать, получим что-то вроде $\leqslant 2^n |a_1 - a_0| = 2^n |f(x)|$
И непонятно, а что дальше, оценка-то плохая. И как зацепиться периодичностью?

[xmaister]

SpBTimes в сообщении #696553 писал(а):

И как зацепиться периодичностью?

Ну единственно, что $f(0)=f(1)$ . Для сходимости последовательности $x_{n+1}=f(x_n)$, где $ f:[a,b]\to [a,b]$- непрерывна необходимо и достаточно, чтобы $x_{n+1}-x_n\to 0$.

[SpBTimes]

Я не понял
Можно пояснить, как это применить к самой задаче (условие то понятно)?

[xmaister]

Я поторопился. Пока не видно как это помогает. Надо подумать...

[sup]

Обозначим $p^{(2)}(x) = p(p(x))$, $p^{(3)}(x) = p(p(p(x)))$ и тд.
Сначала докажем, что
$p^{(n)}(x) = x + p^{(n)}(0) + r_n(x)$
причем $|r_n(x)| \leqslant 1$
Далее показываем, что последовательность $p^{(n)}(0)/n$ ограничена.
Пусть $A = \limsup p^{(n)}(0)/n$. Тогда для любого $a<A$ найдется $k$,такое, что
$p^{(k)}(x) > x + ka $
Отсюда легко извлекаем
$p^{(n)}(x) > x + (n-k)a $, а значит
$\liminf p^{(n)}(0)/n > a$
Значит
$\lim p^{(n)}(0)/n = A$
Следовательно $p^{(n)}(x) = x + nA + o(n)$

[SpBTimes]

sup
Спасибо!