Пожалуйста, объясните интеграл

[Sedna9001]

Помогите, пожалуйста, со следующем: оценить интеграл

$$\int_{0}^{\pi} \frac {1}{\sqrt{1+{\frac{9}{16}} \sin^2 x}} dx$$

Пожалуйста, распишите решение, как можно подробнее, особенно как находятся наименьшее и наибольшее значение m и M.
Заранее спасибо и извините за беспокойство.

[Sonic86]

Видите ли, интеграл можно как угодно оценивать. Данный интеграл вообще можно вычислить через вычеты. То, что Вы обозначаете $m,M$ - это не какие-то точные константы, однозначно выражаемые через интеграл.

[gris]

Может быть это численная задача и надо прямоугольниками получить заданную точность?

[Sedna9001]

Здесь надо получить наибольшее и наименьшее значения.

[Sonic86]

Какие Вы знаете самые простые способы оценки определенных интегралов?

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #695682 писал(а):

Данный интеграл вообще можно вычислить через вычеты.

Но это эллиптический интеграл. Не проглядели ли Вы квадратный корень в знаменателе? Без него действительно легко берётся вычетами.

[Sedna9001]

В том-то и проблема в учебниках, что у меня, этому слишком мало уделено внимания. Хочу узнать как можно больше информации, как теоретической так и практической. Данный пример 17.6 из учебника А. А. Гусак по высшей математике.

[Joker_vD]

Ну можно совсем тупо: подынтегральное выражение принимает значения в промежутке от $\frac45$ до $1$. Значит, интеграл лежит в промежутке от $\frac45\pi$ до $\pi$.

[Sedna9001]

Пожалуйста, Joker_vD распишите как находятся эти эти значения $\frac {4} {5} \pi$ и $\pi$. Вот тут основная проблема.

[Joker_vD]

Если $m\leqslant f(x)\leqslant M$ на промежутке $[a,b]$, то $m(b-a)\leqslant\int\limits_a^b f(x)\, dx\leqslant M(b-a)$. Это, конечно, довольно грубая оценка.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #695694 писал(а):

Но это эллиптический интеграл. Не проглядели ли Вы квадратный корень в знаменателе? Без него действительно легко берётся вычетами.

Действительно, получается особенность $\frac{1}{\sqrt{z}}$. Я корень видел, это у меня просто пробел - не замечал раньше, что не все такие интегралы берутся

[Sedna9001]

Пожалуйста, Joker_vD распишите сам процесс их нахождения по подробнее.

[_Ivana]

Куда же подробнее то? И так в условии $9/16$ дано специально, чтобы корень брался хорошо при прибавлении 1-цы

[Joker_vD]

$\frac45\leqslant\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}\sin^2 x}}\leqslant1$ на отрезке $[0,\pi]$, поэтому весь интеграл не меньше, чем $\frac45\cdot(\pi-0)$, но не больше, чем $1\cdot(\pi-0)$.

[Sedna9001]

Я не могу понять откуда взялись $\frac {4}{5}$ и 1