Почему у чисел Стирлинга такое реккурентное соотношение?

[xmaister]

$f_n(x)=(x+1)\ldots (x+n-1)=x^{n-1}+a_1x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}$, при этом ясно что ${n\choose 2}=a_1$. Можно и $a_2$ вычислить, это будет $2a_2=a_1^2-\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^2$. Но как заметить, что

$${n\choose3}+{n-1\choose2}a_1=2a_2$$

$${n\choose4}+{n-1\choose3}a_1+{n-2\choose2}a_2=3a_3$$

$${n\choose5}+{n-1\choose4}a_1+{n-2\choose3}a_2+{n-3\choose2}a_3=4a_4$$

и т.д. Я понимаю, что это работает, но что-то никак не соображу из каких соображений это имеет место.

UPD^ Вообще интересно, несет ли это тождество какой-нибудь комбинаторный смысл?