Сходимость последовательности лин. функционалов.

[Mesaki]

Исследовать сходимость слабую и по норме последовательности лин. функционалов $ f_n(x) = \int_{1/n}^1 \frac{x(t)}{t} dt $ в $ C_2 [0;1] $

Скажите, правильно ли я сделал? Пусть $ x(t)=1/t \Rightarrow \ f_n(1/t) = \int_{1/n}^1 \frac{1}{t^2} dt = 1-\frac{1}{1/n}=1-n$. Видно, что неограничена, а значит не сходится по норме и не сходится в слабом смысле.

[cool.phenon]

Как всё лихо. Но $f(t)=\frac{1}{t}$ разве входит в ${C}_{2}[0;1]$ ?

[Mesaki]

Цитата:

разве входит в ${C}_{2}[0;1]$ ?

Почему нет? ${C}_{2}[0;1]$ - пространство непрерывных функций с определенной метрикой.

$\frac{1}{t}$ непрерывна на $t \in [0;1]$

[cool.phenon]

Давайте рассуждать по порядку. ${C}_{2}[0;1]$ - пространство непрерывных функций с радикальной метрикой на $[0;1]$. $[0;1]$ - компакт. Функция, непрерывная на компакте, ограничена. Ну в нашем случае это $f=\frac{1}{x}$. Функция $\frac{1}{x}$ неограничена на $[0;1]$. Тогда получаем противоречие с тем, что $f$ - непрерывна и ограничена. Или я где-то ошибаюсь?

[SpBTimes]

О чем бишь речь? На $[0; 1]$ функция $\frac{1}{t}$ просто-напросто не определена.

[Mesaki]

Спасибо. Что-то я совсем...

Подскажиет, как исследовать на сходимость по норме? ну то есть на семинарах мы методом пристального взгляда выбирали $ f_\infty& и доказывали, что $ ||f_n-f_\infty||\to0&. Во всех случаях у нас $ f_\infty=0&, но тут я попробовал с $ f_\infty=0& и в итоге у меня получилось $ ||f_n-f_\infty||\leqslant |\sqrt{n-1}|&. я так понимаю, что это не дает мне сходимости к 0. Подобрать контрпример не получается.

-- 13.03.2013, 16:44 --

А если так? Пусть $ x(t)=1 \Rightarrow \ f_n(1) = \int_{1/n}^1 \frac{1}{t} dt = \ln{1}-\ln{1/n}=\ln{n}$. Видно, что неограничена, а значит не сходится по норме и не сходится в слабом смысле. ведь $ 1\in C_2 [0;1]$ ?

[SpBTimes]

так верно