Иррациональное число

[scwec]

Докажите, что число $S=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^{2^k}}$ является иррациональным.

[gris]

Может быть через непериодичность двоичной бесконечной дроби?
С только плюсами так и получается, может быть и с плюс-минусами получится?

[scwec]

gris в сообщении #694570 писал(а):

может быть и с плюс-минусами получится?

gris сразу взял быка за рога, а точку поставить, видимо, поленился.
Чтобы получилось, достаточно заметить, что $\frac{1}{2^{2^k}}-\frac{1}{2^{2^{k+1}}}=\sum_{i=0}^{2^k-1}\frac{1}{2^{2^{k+1}-i}}$. Записав $S$ теперь уже без минусов, видим, что отрезки из единиц в двоичной записи $S$ имеют длину $2^k$ и соответствующая дробь не может быть периодической.

[RIP]

(Оффтоп)

Ну, и естественное продолжение задачи --- доказать, что данное число трансцендентно.
P.S. Данное число не является числом Лиувилля, поэтому совсем даром доказать не получится.

[ИСН]

(Оффтоп)

наверняка найдётся какое-нибудь красивое семейство дробей, по которым у него выйдет мера иррациональности больше 2. этого достаточно.

[RIP]

(Оффтоп)

На теорему Рота намекаете? Да, это хорошая задача --- доказать, что мера иррациональности $S$ равна $2$.

[gris]

Хорошо, что я вовремя рога отпустил
Иррациональность, конечно, на поверхности, и я было собрался даже несколько обобщить ряд очевидным образом, но потом внутренний голол сказал: не лезь. Там Рот.

[RIP]

(Оффтоп)

Нет, Рот здесь как раз не поможет (но поможет Риду). Всё значительно проще (но всё равно не очень просто, если не ссылаться на готовые результаты).

[scwec]

По поводу трансцендентности.
Число $S_0=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^k}}$ действительно является трансцендентным и это доказано К. Малером в 1929 году.
А что касается числа $S=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k{\frac{1}{2^{2^k}}}$, то трансцендентность его была под вопросом до самого последнего времени. Есть ли доказательство трансцендентности на настоящий момент, я не знаю. Если RIP оно известно, то буду благодарен за ссылку.

[ИСН]

Посмотрел на его подходящие дроби... Да, теперь я верю, что мера иррациональности равна 2, и что этот факт может лежать ближе, чем его трансцендентность.

[RIP]

Кажется, я чего-то не понимаю. Функция $f(z)=\sum_0^\infty(-1)^nz^{2^n}$ удовлетворяет уравнению Малера $f(z^2)=z-f(z)$ и трансцендентна. Значит, для любого алгебраического $\alpha$ с $0<|\alpha|<1$ число $f(\alpha)$ трансцендентно. Kumiko Nishioka, "Mahler functions and transcendence", теорема 1.2.

[scwec]

RIP, спасибо за ссылку на Kumiko Nishioka. Вы расставили все точки по поводу трансцендентности $S$.
У меня сомнения по поводу трансцендентности $S$ возникли из статьи А.Каибханова, А. Скопенкова в Математическом просвещении 2006 г вып.10.
В ней приведено элементарное доказательство трансцендентности числа Малера и перечислены 5 вопросов, ответов на которые у авторов не было. В том числе там фигурировала и трансцендентность числа $S$. Возможно, они имели ввиду доказательство трансцендентности $S$ предложенным ими методом.
Во всяком случае в их статье в arxiv.org август 2012г., которая почти повторяет статью 2006 года, вопрос о трансцендентности $S$ уже отсутствует.