Проективный модуль

[xmaister]

Вот нужно доказать, что если у $R$-модуля $P$ всякий суръективынй гомоморфизм $\varphi:M\to P$ имеет правый обратный, то для всех $R$-модулей $N,K$ и всех гомоморфизмов $\psi ,g$, где $\psi$-суръективен существует гомоморфизм $\theta$, такой что диаграмма

$$\xymatrix{&P\ar[d]^g\ar[ld]_{\theta}\\ K\ar[r]^{\psi}&N}$$

коммутативна. Если рассмотреть произвольные модули $N,K$ и произвольный гомоморфизм, то не получится рассмотреть $g^{-1}:\mathrm{Im}(g )\to P$, т.к. $g$- не обязательно инъективен. Если $g$- инъективен, то понятно: рассматриваем $\kappa:\psi^{-1}(\mathrm{Im}(g))\to P$, $\kappa =g^{-1}\circ\psi$- суръективен. Берем правый обратный и тождественно вкладываем в $K$.

[xmaister]

Разобрался. В диаграмме

$$\xymatrix{&P\ar[ld]_{\kappa}\ar[rd]^{\varphi}&\\M\times P\ar[rr]^{\psi}\ar[d]_{p_1} &&N\times P\ar[d]^{p_2}\\M\ar[rr]^{\psi '}&&N}$$

квадрат и треугольник коммутативны. Поэтому достаточно рассмотреть когда $g:P\to N$- вложение.