2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поворот в н-мерном пространстве
Сообщение04.04.2007, 12:50 


04/04/07
1
Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).
По идее, эта результирующая матрица, должна быть произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси), на подобии
|а –а 0 |
|а а 0 |
|0 0 1 |
Где а = $\frac 1 {\sqrt{2}}$ Т.е. поворот вокруг оси Ox на 45 градусов, далее поворот вокруг Oz на 45 градусов, ну и т.д.

Но почему-то таким путем, мне не удалось найти результирующую матрицу. Стал искать методом от обратного (зная какой вид должна иметь результирующая матрица).
И для 3-х мерного случая нашел:
| 1                    0                       -1                 |
| $\frac 1 {\sqrt{3}}$         $\frac {-2} {\sqrt{3}}$        $\frac 1 {\sqrt{3}}$       |
| $\sqrt{ \frac 2 3} $\sqrt{ \frac 2 3} $\sqrt{ \frac 2 3} |
( матрицы в примерах math не нашел)
И для 4-х мерного:
| -a a a -a |
| -a a -a a |
| a a -a -a |
| a a a a |
Где а = $\frac 1 {\sqrt{4}}$
Правильны ли эти матрицы? Т.е. удовлетворяют ли они поставленной задаче? И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6? И почему матрицы для 3-х и для 4-х мерных случаев, не описывается произведением матриц простых поворотов (вокруг одной оси)?
Был бы очень благодарен, если кто поможет разобраться в этом.
Заранее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2007, 12:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 !  PAV:
Перепишите формулы с использованием тега math

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2007, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Может, это поможет?
Берем, например, систему векторов $(1,1,\ldots,1)^T, e_n,e_{n-1},\ldots,e_2$. Применяем к ней процесс ортогонализации Грама-Шмидта. В итоге получим ортонормированный базис $v_1=\frac1{\sqrt n}(1,1,\ldots,1)^T,v_2,\ldots$. В базисе $v_1,v_2,\ldots,v_n$ матрица искомого поворота должна писаться легко (поворот происходит в плоскости векторов $v_1$ и $v_2$, а $v_3,v_4,\ldots,v_n$ остаются неизменными). Матрица перехода от базиса $v_i$ к базису $e_i$ почти вычислена в Граме-Шмидте (там слегка другой базис, но от него перейти к $e_i$ совсем просто). Эта матрица ортогональная, поэтому обратная для неё находится просто. Теперь надо вспомнить, как меняется матрица оператора при замене базиса.
Не знаю, может, можно как-нить попроще.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 17:06 


06/12/06
347
leciel писал(а):
Возникла необходимость найти матрицу поворота в н-мерном пространстве. Поворот должен быть такой, чтобы центральная ось (например, в 3-х мерном пр-ве (1, 1, 1) перешла в (0, 0, 1), и соответственно плоскость перпендикулярная оси (1, 1, 1) стала плоскостью перпендикулярной оси (0, 0, 1) или параллельна пл-ти (x, y, 0)).


Этот поворот можно осуществить при помощи умножения слева вектора-строки на матрицу, представляющую собой произведение $n-1$ матриц ($n$ --- размерность пространства)
\[
\left\|
\begin{array}{ccccc}
a_1&b_1&0&\ldots&0\\
-b_1&a_1&0&\ldots&0\\
0&0&1&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\ldots&1\\
\end{array}
\right\|
\left\|
\begin{array}{ccccc}
1&0&0&\ldots&0\\
0&a_2&b_2&\ldots&0\\
0&-b_2&a_2&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\ldots&1\\
\end{array}
\right\|
\dots
\left\|
\begin{array}{ccccc}
1&\ldots&0&0&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&\ldots&1&0&0\\
0&\ldots&0&a_{n-1}&b_{n-1}\\
0&\ldots&0&-b_{n-1}&a_{n-1}\\
\end{array}
\right\|
\]
(если для идентификации точки пространства используется вектор-столбец, то его нужно умножать справа на результат транспонирования этой матрицы). Здесь $b_k=\sqrt{1-a_k^2}$, $a_k=1/\sqrt{k+1}$, $k=1,2,\dots,n-1$.

leciel писал(а):
И как найти матрицу для 6-ти мерного случая, т.к. исходно нужна была именно для 6?


Для 6-мерного пространства умножение 5 матриц можно произвести при помощи maple или mathematica.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group