Векторный потенциал и закон индукции Фарадея.

[FF100]

Главной задачей индукции является нахождение закономерностей возникновения электрических полей, а, следовательно, и сил действующих на заряд, в данной точке пространства, т.к. только электрические поля, генерируемые тем или иным способом, оказывают силовые воздействия на заряд. Такие поля можно получить, изменяя расположение других зарядов вокруг данной точки пространства или ускоряя их. Если вокруг рассматриваемой точки имеется какая-то статическая конфигурация зарядов, то напряженность электрического поля в данной точке будет определяться соотношением $\vec E = - grad_{} \varphi $ , где $ \varphi $ скалярный потенциал в заданной точке, определяемый данной конфигурацией. Если изменить расположение зарядов, то этой новой конфигурации будут соответствовать и другие значения скалярного потенциала, а, следовательно, и другие значения напряженности электрического поля. Но, делая это, необходимо перемещать заряды в пространстве, а такое перемещение в обязательном порядке сопряжено с их ускорением и последующим замедлением. Ускорение или замедление зарядов также может приводить к возникновению в окружающем пространстве индукционных электрических полей. Может возникнуть и другая стационарная ситуация, когда, например, после ускорения заряды движутся с постоянной скоростью в окрестностях рассматриваемой точки, например по круговым или другим замкнутым траекториям. В этом случае также могут возникать конфигурационные электрические поля за счет наличия пространственных градиентов скоростей в потоках движущихся зарядов.
Основным законом индукции в электродинамике является закон Фарадея. В современной электродинамике он записывается следующим образом:


$ \oint {\vec E_{} d\vec l = - \frac{{\partial Q_B }} {{\partial t}}} = - \mu \int {\frac{{\partial \vec H}} {{\partial t}}_{} } d\vec s = - \int {\frac{{\partial \vec B}} {{\partial t}}_{} } d\vec s$ , (2.1)

где $ \vec B = \mu \vec H$ - вектор магнитной индукции, $ Q_B = \mu \int {\vec H_{} d\vec s} $ - поток магнитной индукции, а $\mu = \tilde \mu \mu _0 $ - магнитная проницаемость среды. Из этого закона следует, что циркуляция вектора электрического поля равна изменению потока магнитной индукции через площадку, которую охватывает данный контур. Сразу необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что рассматриваемый закон представляет процессы взаимной индукции, т.к. для получения циркуляции вектора $\vec E$ мы берем стороннее магнитное поле, сформированное сторонним источником. Из соотношения (2.1) получают первое уравнение Максвелла

$rot_{} \vec E = - \frac{{\partial \vec B}} {{\partial t}}$ . (2.2)

Сразу укажем на терминологическую ошибку. Закон Фарадея следует называть не законом электромагнитной, как это принято в существующей литературе, а законом магнитоэлектрической индукции, т.к. изменение магнитных полей приводит к возникновению электрических полей, а не наоборот.
Введём векторный магнитный потенциал магнитного поля $\vec A_H $ , удовлетворяющий равенству

$\mu \oint {\vec A_{H_{} } d\vec l = Q_B } $ ,

где контур интегрирования совпадает с контуром интегрирования в соотношении (2.1), а вектор $\vec A_H $ определен на всех его участках, тогда

$\vec E = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}}$ . (2.3)
Введенный таким образом вектор $\vec A_H $ предполагает локальную связь между ним и электрическим полем, а также между пространственными производными этого вектора и магнитным полем. Если удастся определять вектор $\vec A_H $ , его производную по времени в любой точке пространства, а также его пространственные производные, то мы сумеем определять сразу и вектор $\vec E$ , и вектор $\vec H$ . Нетрудно показать, что введенный таким образом вектор $\vec A_H $ , связан с магнитным полем следующим соотношением:

$\[ rot_{} \vec A_H = \vec H \]$ . (2.4)

Если речь идёт о движении в поле пространственно меняющегося векторного потенциала, то для нахождения индуцируемых электрических полей следует использовать полную производную.
$\vec E' = - \mu \frac{{d\vec A_H }} {{dt}}$ . (2.5)
Штрих около вектора $\[ \vec E \]$ означает, что это поле мы определяем в движущейся системе координат. Это означает, что векторный потенциал может иметь не только локальную, но и конвекционную производную, т.е. может изменяться, как за счет изменения времени, так и за счет движения в пространственно меняющемся поле этого потенциала. При этом соотношение (2.5) можно переписать следующим образом:

$\[ \vec E' = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} - \mu \left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H \]$ ,

где $\[ \vec v \]$ - скорость штрихованной системы. Следовательно, сила, действующая на заряд в движущейся системе, при отсутствии зависимость векторного потенциала от времени, запишется

$\vec F'_{v,1} = - \mu e\left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H $ .

Эта сила зависит только от пространственных производных векторного потенциала и скорости заряда.
Заряд, движущийся в поле векторного потенциала $\vec A_H $ со скоростью $\vec v$ , обладает потенциальной энергией


$W = - e\mu \left( {\vec v\vec A_H } \right)$ [/math] .

Поэтому должна существовать еще одна сила, действующая на заряд в движущейся системе координат, а именно:

$\vec F'_{v,2} = - grad_{} W = e\mu _{} grad\left( {\vec v\vec A_H } \right)$ .

Таким образом, величина $e\mu \left( {v\vec A_H } \right)$ играет такую же роль, что и скалярный потенциал $\varphi $ , градиент которого также дает силу. Следовательно, суммарная сила, которая действует на заряд, движущийся в поле векторного потенциала, может иметь три составляющие и запишется как

$ \[ \vec F' = - e\mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} - e\mu \left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H + e\mu _{} grad\left( {\vec v\vec A_H } \right) \]$ . (2.6)

Первая из составляющих этой силы действует на неподвижный заряд, когда векторный потенциал меняется во времени и имеет локальную производную по времени. Вторая составляющая связана с движением заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Совсем иная природа у силы, которая определяется последним слагаемым соотношения (2.6). Она связана с тем, что заряд, движущийся в поле векторного потенциала, обладает потенциальной энергией, градиент которой и дает силу. Из соотношения (2.6) следует

$\[ \vec E' = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} - \mu \left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H + \mu _{} grad\left( {\vec v\vec A_H } \right) \]$ . (2.7)

Это и есть полный закон взаимной индукции. Он определяет все электрические поля, которые могут возникать в заданной точке пространства, причем эта точка может быть как неподвижной, так и движущейся. Этот единый закон включает в себя и закон Фарадея и ту часть силы Лоренца, которая связана с движением заряда в магнитном поле, и без всяких исключений дает ответ на все вопросы, касающиеся взаимной магнитоэлектрической индукции. Показательно, что, если взять ротор от обеих частей равенства (2.7), пытаясь получить первое уравнение Максвелла, то сразу будет потеряна существенную часть информации, т.к. ротор от градиента тождественно равен нулю.
Если выделить те силы, которые связаны с движением заряда в пространственно меняющемся поле векторного потенциала, и учесть, что
$\[ \mu _{} grad\left( {\vec v\vec A_H } \right) - \mu \left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H = \mu \left[ {\vec v \times rot_{} \vec A_H } \right] \]$ ,

то из (2.6) получим

$ \[ \vec F'_v = e\mu \left[ {\vec v \times rot_{} \vec A_H } \right] \]$ , (2.8)

и, учитывая (2.4), запишем

$ \[ \vec F'_v = e\mu \left[ {\vec v \times rot_{} \vec A_H } \right] \]$ , (2.9)
или

$\vec E'_v = \mu \left[ {\vec v \times \vec H} \right]$ , (2.10)

и окончательно

$\vec F' = e\vec E + e\vec E'_v = - e\frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} + e\mu \left[ {\vec v \times \vec H} \right]$ . (2.11)

Может показаться, что соотношение (2.11) представляет силу Лоренца, однако это не так. В этом соотношении и поле $\vec E$ , и поле $\vec E'_v $ являются индуцированными, первое связано с чисто временными изменениями векторного потенциала, второе же обязано движению заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Чтобы получить полную силу, действующую на заряд, необходимо к правой части соотношения (2.11) добавить слагаемое $ - e_{} grad_{} \varphi $

$\vec F'_\sum = - e_{} grad_{} \varphi + e\vec E + e\mu \left[ {\vec v \times \vec H} \right]$ ,
где $\varphi $ - скалярный потенциал в точке наблюдения. Теперь соотношение (2.7) можно переписать следующим образом:

$\[ \vec E' = - \mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}} - \mu \left( {\vec v\nabla } \right)\vec A_H + \mu _{} grad\left( {\vec v\vec A_H } \right) - grad_{} \varphi \]$ , (2.12)
или, собрав первые два члена в полную производную векторного потенциала по времени, а также, внеся под знак градиента два последних члена правой части соотношения (2.12), получим

$\[ \vec E' = - \mu \frac{{d\vec A_H }} {{dt}} + grad\left( {\mu \left( {\vec v\vec A} \right) - \varphi } \right) \]$ . (2.13)

Если обе части соотношения (2.12) умножить на величину заряда, то получится полная сила, действующая на заряд. От силы Лоренца она будет отличаться силой $ - e\mu \frac{{\partial \vec A_H }} {{\partial t}}$ . Из соотношения (2.13) видно, что величина $\[ \mu \left( {\vec v\vec A} \right) - \varphi \]$ играет роль обобщенного скалярного потенциала. Взяв ротор от обеих частей соотношения (2.13) и учитывая, что $rot_{} grad = 0$ , получим

$rot_{} E' = - \mu \frac{{d\vec H}} {{dt}}$ .
Если в данном соотношении заменить полную производную на частную, т.е. считать, то получим первое уравнение Максвелла.
Такой подход максимально прояснил физическую картину взаимной индукции. Мы специально посмотрели на него под другим углом зрения, для того, чтобы разрешить те противоречивые суждения, которые имеют место в фундаментальных трудах по теории электричества.
Ранее сила Лоренца рассматривалась как фундаментальный экспериментальный постулат, не связанный с законом индукции. Расчетным путем получить последнее слагаемое правой части соотношения (2.11) можно было только в рамках СТО, введя два постулата этой теории. В данном случае все слагаемые соотношения (2.11) получены из закона индукции в рамках преобразований Галилея. Причем соотношение (2.11) это и есть полный закон взаимной индукции, если его записать в терминах векторного потенциала. И это есть как раз то правило, которое дает возможность, зная поля в одной ИСО, вычислять поля в другой.
Структуру сил, действующих на движущийся заряд, легко понять на примере случая, когда заряд движется между двумя параллельными плоскостями, по которым протекает ток (рис. 1). Выберем оси координат таким образом, чтобы ось $z$ была направлена нормально к плоскостям, а ось $y$ параллельна им.



Рис. 1. Силы, действующие на заряд, движущийся в поле векторного потенциала.

Тогда для случая, когда расстояние между пластинами значительно меньше их размеров (в данном случае на картинке это соотношение не соблюдено), магнитное поле $H_x $ между ними будет равно удельному току $\[ I_y \]$ , текущему по пластинам. Если положить, что векторный потенциал на нижней пластине равен нулю, то его $y$ – компонента, отсчитываемая от нижней пластины, будет возрастать по закону
$\[ A_y = I_y z \]$ .

Если заряд двигается в направлении оси $y$ вблизи нижней пластины со скоростью $v_y $ , то сила $F_z $ , действующая на заряд, определяется последним слагаемым соотношения (2.6) и равна

$F_z = e\mu v_y I_y $ . (2.14)

Направлена эта сила от нижней пластины в сторону верхней.
Если заряд движется вдоль оси $z$ от нижней пластины к верхней со скоростью $v_z = v_y $ , то для нахождения силы следует использовать уже второе слагаемое правой части соотношения (2.6). Эта сила по абсолютной величине опять равна силе, определяемой соотношением (2.14), и направлена в сторону противоположную оси $y$ . При любых других направлениях движения суммарная сила будет векторной суммой двух сил, представляемых последними слагаемыми соотношения (2.6). Суммарная же величина этой силы будет определяться соотношением (2.11), а сама сила всегда будет нормальной к направлению движения заряда. Раньше рассматривалось наличие такой силы как действие силы Лоренца, природу которой была неясна, и вводилась она как экспериментальный постулат. Теперь понятно, что она является следствием совместного действия двух сил, различных по своей природе, физический смысл которых теперь ясен.
Понимание структуры сил дает нам возможность посмотреть на уже известные явления с другой точки зрения. Например, с чем связано существование сил, которые растягивают петлю с током? В данном случае это обстоятельство может интерпретироваться не как действие силы Лоренца, а с энергетической точки зрения. Ток, текущий по элементу кольцевого витка находится в поле векторного потенциала, создаваемого остальными элементами этого витка, а, следовательно, имеет запас потенциальной энергии. Сила, действующая на такой элемент, обусловлена наличием градиента потенциальной энергии этого элемента и пропорциональна градиенту скалярного произведению величины тока на векторный потенциал в данной точке. Таким образом, можно объяснить и происхождение пондеромоторных (механических) сил. Если ток разбить на отдельные токовые нити, то все они будут по отдельности создавать поле векторного потенциала. Суммарное поле будет действовать на каждую нить в отдельности, и в соответствии с последним слагаемым правой части соотношения (2.6) это будет приводить к взаимному притяжению. И в первом и во втором случае в соответствии с общими принципами система стремится к минимуму потенциальной энергии.
Следует подчеркнуть, что в соотношении (2.8) и (2.9) все поля имеют индукционное происхождение, и они связаны то ли с локальной производной векторного потенциала, то ли с движением заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Если поля во времени не изменяются, то в правой части соотношений (2.8) и (2.9) остаются только последние слагаемые, и они объясняют работу всех существующих электрогенераторов с движущимися механическими частями, в том числе и работу униполярного генератора. Соотношение (2.7) дает возможность физически объяснить все составляющие напряженности электрического поля, возникающего в неподвижной и движущейся систем координат. В случае униполярного генератора в формировании силы, действующей на заряд, принимают участие два последних слагаемых правой части равенства (2.7), внося одинаковые вклады.
Сам Фарадей при проведении опытов установил, что в контуре индуцируется ток, когда в соседнем контуре включается или выключается постоянный ток или соседний контур с постоянным током движется относительно первого контура. Поэтому в общем виде закон Фарадея записывается следующим образом:

$\oint {\vec E'd\vec l' = - \frac{{dQ_B }} {{dt}}} $ . (2.15)

Данная запись закона указывает на то, что при определении циркуляции $\vec E$ в движущейся (штрихованной) системе координат, около $\vec E$ и $d\vec l$ должны стоять штрихи и следует брать полную производную. Если же циркуляция определяется в неподвижной системе координат, то штрихи около $\vec E$ и $d\vec l$ отсутствуют, но при этом справа в выражении (2.15) должна стоять частная производная по времени. Обычно при записи закона магнитоэлектрической индукции на этом внимание в существующей литературе почему-то не акцентируется.