Несобственный интеграл

[Limit79]

Необходимо установить сходится или расходится вот этот интеграл: $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{\ln(x)}$.

Интеграл неберующийся, поэтому, наверное, надо с чем-то сравнить, только вот не очень могу понять с чем...

[gris]

Да он на бесконечности и расходится. Уж так ли и не с чем сравнить? Да хоть с самым простым.

[Limit79]

gris

$\frac{1}{x} < \frac{1}{\ln(x)}$ на $[1;+ \infty)$

$\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{x}$ - расходится, следовательно и исходный расходится?

[gris]

Оценку лучше произвести на интервале от двойки.
Ну, конечно, надо сказать слова о положительности обеих функций.
А вот в окрестности единички интеграл, наверное, сходится

[Limit79]

gris

$\frac{1}{x} < \frac{1}{\ln(x)}$ на $[2;+ \infty)$

$\int\limits_{2}^{+ \infty} \frac{dx}{x}$ - расходится, следовательно расходится и $\int\limits_{1}^{+ \infty} \frac{dx}{\ln(x)}$?

Я несколько не понимаю насчет последнего вывода - меньший расходится на одном промежутке, значит исходный расходится на другом промежутке?

[nnosipov]

gris в сообщении #693103 писал(а):

А вот в окрестности единички интеграл, наверное, сходится

Расходится, конечно, ведь там полюс. Сходится он в окрестности нуля.

[Limit79]

Попробую вот так:
Подынтегральная функция имеет особые точки в $1$ и в бесконечности, поэтому исходный интеграл сходится, если сходятся $\int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\ln(x)}$ и $\int\limits_{2}^{+ \infty} \frac{dx}{\ln(x)}$.

Интеграл $\int\limits_{2}^{+ \infty} \frac{dx}{\ln(x)}$ расходится ( при сравнении его с $\int\limits_{2}^{+ \infty} \frac{dx}{x}$ ), следовательно, можно сказать, что исходный интеграл тоже расходится? (и не исследовать на сходимость $\int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\ln(x)}$ ?)

[gris]

Есть определение сходимости несобственного интеграла в различных случаях. В общем, интеграл сходится, если и только если сходится несобственный интеграл по каждой "несобственности". То есть мы можем наш интеграл, содержащий две "несобственности" на два по одной. Вот этой точкой $x=2$. И получается, что интеграл от $2$ до $\infty$ расходится. Значит и первоначальный интеграл расходится.

Вы правильно написали. А вот получается, что и интеграл от $1$ до $2$ расходится. Ну тогда исходный расходится в два раза убедительнее

[Limit79]

gris
Но интеграл от $1$ до $2$ исследовать совсем не обязательно, так как для расходимости исходного, достаточно расходимости любого одного?

[gris]

Совершенно верно. Но я бы для упражнения доказал и его расходимость. Отметив, разумеется, что это не обязательный бонус для преподавателя. А можно показать расходимость только первого интеграла.

[Limit79]

gris
Понял.

gris
nnosipov
Спасибо за помощь!