Теорема об иррациональности 2^(1/2)

[KiberMath]

В учебнике приведено доказательстов того факта, что $2^{\frac12}$ вот таким вот странным, на мой взгляд, образом...
Предположим, что это число рационально,тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ тогда имеем, что $\frac{m^2}{n^2}=2$, откуда имеем, что $m^2=2n^2$, а потому квадрат натурального чилса m четен. Поскольку квадрат любого нечетного числа нечетен, то m должно быть четным числом, т.е. m=2k. Отсюда следует, что 4k^2=2n^2, откуда 2k^2=n^2. Это утверждение показывает, что квадрат числа n четен, а потому n тоже четное число. Но тогда m и n деляться на 2, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$.

Ну собрался я прорешать задачки по этой теме. По аналогии с этой теоремой доказал, что квадратный корень чисел 6, 3, 5, 2.1 иррациональные числа... Ну и наконец (Такого задания в учебнике не было) меня все это наталкнуло на мысль, что рассуждая таким вот образом можно показать, что квадратный корень любого числа иррационален. Например... Нет сомнений, что квадратный корень числа 4 рациональное число НО ведя рассуждения также как и в приведенной теореме получаю

Предположим, что это число рационально,тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ тогда имеем, что $\frac{m^2}{n^2}=4$, откуда имеем, что $m^2=4n^2$, а потому квадрат натурального чилса m делиться на 4. Поскольку если квадрат числа делиться на 4 то само число должно содежрать 2, получаю что m делиться на 2, т.е. m=2k. Отсюда следует, что 4k^2=n^2, откуда 2k^2=n^2. Это утверждение показывает, что квадрат числа n четен, а потому n тоже четное число. Но тогда m и n деляться на 2, что противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$.

Я долго смеялся ))) Но в чем ошибка так и не понял. Расскажите пожалууйста где я ошибся. Очень интересно...

[AlexDem]

По-моему, ошибка пошла отсюда: $4k^2 = n^2$, здесь же должно быть $4k^2 = 4n^2$. Ну, и далее - откуда из $4k^2 = n^2$ следует $2k^2 = n^2$?

[KiberMath]

AlexDem
Действительно )