Конечно порожденные $R$-модули

[xmaister]

Пусть $R$- кольцо. Я не догоняю, как построить множество классов изоморфных конечно порожденных $R$-модулей. В смысле не понятно, почему это будет множеством. Ведь набор таких $R$-модулей множеством не является и отношение эквивалентности там не введешь.

[Xaositect]

Множества классов естественно быть не может(если работать в рамках NBG). Может быть множество представителей. Например, зафиксируем последоваетльность символов $e_1,\dots,e_n,\dots$ и любой конечно порожденный модуль будет изоморфен модулю, порожденному начальным отрезком этой посл-ти, а они образуют множество.

А вообще не парьтесь по этому поводу.

[xmaister]

Не понимаю. Разве все модули, порожденный например $\{e_1,\ldots ,e_n\}$ изоморфны? Их там может быть не свободных много.

[Xaositect]

Нет, но они образуют множество, а не собственный класс.

[xmaister]

Значит надо рассмотреть свободную абелеву группу $M$ с образующими $\{e_1,\ldots ,e_n\}$, а все действия моноида $(R,\cdot)$ на $M$ образуют множество, так?

[apriv]

Конечно порожденные $R$-модули — это факторы $R^k$. Подмодули $R^k$ образуют множество для каждого $k$, поэтому и конечно порожденные модули образуют.