2 уравнения

[NNDeaz]

Здравствуйте, на глаза недавно полались 2 задания.
1. \sqrt {{x^2} + 4{x^3}} = ax - {x^2}, Найти все a, при которых уравнение имеет единственное решение.
2. ${{x(7 - x)} \over {{x^2} - 3}} = \sqrt {10 - x} $
Первое я решал несколькими способами, но ни как не удалось получить именно a \in ( - \infty ; - 1] \cup ( - {1 \over 4};1] (именно такой ответ должен быть)
Во втором были некоторые идеи, но они оказались неудачными.
Есть какие-либо мысли или идеи? Спасибо.

[mihailm]

2. Очевидно 1 - посторонний корень)
так что возводим в квадрат выделяем икс минус 1, далее ур-е 4-й степени, которые известны со всех сторон

[NNDeaz]

Ну то что можно свести к ур-ю 4ой степени это понятно, просто я думал раз олимпиадная задача, то тут есть какая-нибудь другая лазейка. Кстати во втором должно получиться $x1=\frac{-1+\sqrt{41}}{2} x2=\frac{9-3\sqrt{13}}{2}$

[mihailm]

в первом $a$ хорошо выражается, отдельно при положительных и отрицательных иксах.
Ответ явно не тот

[Cash]

1. Очевиднейший же корень есть.
А далее остается уравнение, которое не должно иметь корней, или иметь один тот самый.
График нарисуйте и всё поймете.
2. Если вы уж считерили и нашли корни, то подумайте над таким фактом: почему сопряженные не подходят?

[mihailm]

Недоглядел, прямая $x=0$ после выражения $a$ через $x$ нужна еще на плоскости $(a,x)$, и ответ вновь становится верным)

[NNDeaz]

Спасибо, за ответы.
Во втором задании я дошел до ур-я 4ой степени, но что-то туплю, как его решить?
$ x^4-8x^3-28x^2+81x+90=0 $

[gris]

Cash посоветовал использовать метод "притягивания за уши к ответу". В ответе два корня приведены. Так как многочлен у нас с вещественными коэффициентами, то сопряжённые числа тоже являются корнями. Посторонними, так как использовалось неравносильное возведение в квадрат. Но мы можем по теореме Виета написать два квадратных трёхчлена, на которые раскладывается многочлен. А потом подумать, как мы могли бы это сделать, если бы не знали корней.
Хотя у меня получилось немного не такое уравнение, если корни использовать
А именно $ x^4-8x^3-19x^2+81x+90=0 $
Если предположить, что многочлен раскладывается на два трёхчлена с целыми коэффициентами, то может быть и можно что-то получить, но это как-то нечестно со стороны составителей. То есть может быть стоит ещё попристальнее посмотреть на исходную задачу и поискать хорошую замену (я не вижу).

[Cash]

у NNDeaz уравнение правильно записано.
Если есть 100% вера, что левая часть разлагается на 2 квадратных трехчлена с целыми коэффициентами, то можно "убить" полчаса на метод неопределенных коэффициентов.
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-8x^3-28x^2+81x+90$
$bd=90$
$a+c=-8$
$ac+b+d=-28$
$ad+bc=81$
Проходимся по делителям $90$ (там всего-то $2\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ 2 =24$ варианта), из 2-го и 3-го уравнения далее находим $a$ и $c$, если целые и проверяем 4-м. При должной сноровке на один вариант гораздо меньше минуты уйдет. Можно всякие хитрости применять, например $(a+c)^2-4ac$ - полный квадрат, т.е. $44+b+d$ должно быть квадратом. Это львиную долю вариантов отсеет. В конце концов, может и сразу повезти
Только вот задачу это совсем не красит...

[NNDeaz]

Всем спасибо за ответы.

Cash в сообщении #692772 писал(а):

Только вот задачу это совсем не красит...

Да, я думаю составителями было задумано что бы произвести какую-либо замену, вот только догадаться до нее не легче чем решить ур-е 4ой степени Все-таки думаю это возможно...

[Praded]

NNDeaz в сообщении #692779 писал(а):

было задумано что бы произвести какую-либо замену

$t^2=10-x$

[ewert]

Cash в сообщении #692772 писал(а):

Проходимся по делителям $90$ (там всего-то $2\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ 2 =24$ варианта),

На самом деле их всего 12: $\pm(1,90);\;\pm(2,45);\;\pm(3,30);\;\pm(5,18);\;\pm(6,15);\;\pm(9,10)$.

При переборе делителей свободного члена лучше находить $ac$ из третьего уравнения и переберать уже его делители, проверяя выполнимость второго; тогда всё сравнительно быстро.

$\pm(1,90)\mapsto ac=-28\pm91=63=3\cdot3\cdot7\text{ или }-119=-7\cdot17;$
три варианта первого случая очевидно не дадут в сумме восьмёрку, со вторым случаем тем более всё ясно.

$\pm(2,45)\mapsto ac=-28\pm47=19\text{ или }-75=-3\cdot5\cdot5;$
тоже явно не подходит.

$\pm(3,30)\mapsto ac=-28\pm33=5\text{ или }-61;$
проехали.

$\pm(5,18)\mapsto ac=-28\pm23=-5\text{ или }-51=-3\cdot17;$
проехали.

$\pm(6,15)\mapsto ac=-28\pm21=-7\text{ или }-49=-7\cdot7;$
да что ж так не везёт.

$\pm(9,10)\mapsto ac=-28\pm19=-9\text{ или }-47;$
устраивает только $a=1,\;c=-9\ \Rightarrow\ a+c=-8.$

Теперь можно просто раскрыть скобки в двух единственно возможных разложениях: .
$x^4-8x^3-28x^2+81x+90=(x^2+x-9)(x^2-9x-10)$ или $x^4-8x^3-28x^2+81x+90=(x^2+x-10)(x^2-9x-9)$; второе и подойдёт.

Но вся эта деятельность крайне нелепа, а какой-либо замены не просматривается -- уж больно плохи корни.

[Praded]

ewert в сообщении #693255 писал(а):

а какой-либо замены не просматривается

Ну, замените уже
$t^2=10-x$
и вы полУчите
$\dfrac{x}{x^2-3}=\dfrac{|t|}{t^2-3}$
Чего ещё желать?

[mihailm]

Praded в сообщении #693267 писал(а):

...
и вы полУчите
$\dfrac{x}{x^2-3}=\dfrac{|t|}{t^2-3}$
Чего ещё желать?

Неплохо, только модуль не нужен.
Потом еще выяснять связь $t$ с $x$, ведь не очевидно же что их произведение -3 (или очевидно?)

[Praded]

mihailm в сообщении #693374 писал(а):

только модуль не нужен

Не давать же сразу полное решение.