степень нуля и размерность правого нуль-пространства

[Горьковчанин]

Уважаемые!
Встретил следующее утверждение: Пусть $\Delta(z)$ - матрица, элементами которой являются функции переменной $z$ и $\xi$ - простой ноль уравнения $\det \Delta(z)=0$. Тогда размерность правого нуль-пространства матрицы $\Delta(\xi)$ есть 1. Попытки найти в литературе подобную теорему не увенчались успехом. Как такое можно доказать?

[нг]

перемещаю из корня.

[незваный гость]

А что Вас, собственно, смущает? Поскольку $\xi$ суть простой корень, то ранг матрицы на единицу меньше полного. А значит, соответствующее нуль-пространство имеет размерность 1.

[Горьковчанин]

незваный гость писал(а):

А что Вас, собственно, смущает? Поскольку $\xi$ суть простой корень, то ранг матрицы на единицу меньше полного. А значит, соответствующее нуль-пространство имеет размерность 1.

Вот именно то утверждение, которое вы привели, меня и смущает. Будь речь о характеристическом многочлеге матрицы - вопроса бы не было. Но у нас просто матрица с элементами-функциями. Такого общего результата я не знаю и в литературе не встретил.

[RIP]

Пусть ранг матрицы $\Delta(\xi)$ равен r. Выберем любые r линейно независимых строчек, пусть для простоты это будут строчки 1,2,...,r. Остальные строчки линейно выражаются через них. Поэтому можно в матрице $\Delta(z)$ к последним n-r строчкам прибавить такие линейные комбинации первых r строчек (при этом $\det\Delta(z)$ не меняется), что в точке $\xi$ это будут нулевые строки. Но тогда кратность корня $\xi$ будет не меньше $n-r$, т.е. $n-r\leqslant1$, но $n-r$ и есть искомая размерность..