2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 степень нуля и размерность правого нуль-пространства
Сообщение03.04.2007, 15:10 
Уважаемые!
Встретил следующее утверждение: Пусть $\Delta(z)$ - матрица, элементами которой являются функции переменной $z$ и $\xi$ - простой ноль уравнения $\det \Delta(z)=0$. Тогда размерность правого нуль-пространства матрицы $\Delta(\xi)$ есть 1. Попытки найти в литературе подобную теорему не увенчались успехом. Как такое можно доказать?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2007, 01:25 
Аватара пользователя
перемещаю из корня.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2007, 01:43 
Аватара пользователя
:evil:
А что Вас, собственно, смущает? Поскольку $\xi$ суть простой корень, то ранг матрицы на единицу меньше полного. А значит, соответствующее нуль-пространство имеет размерность 1.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2007, 19:01 
незваный гость писал(а):
А что Вас, собственно, смущает? Поскольку $\xi$ суть простой корень, то ранг матрицы на единицу меньше полного. А значит, соответствующее нуль-пространство имеет размерность 1.

Вот именно то утверждение, которое вы привели, меня и смущает. Будь речь о характеристическом многочлеге матрицы - вопроса бы не было. Но у нас просто матрица с элементами-функциями. Такого общего результата я не знаю и в литературе не встретил.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2007, 20:42 
Аватара пользователя
Пусть ранг матрицы $\Delta(\xi)$ равен r. Выберем любые r линейно независимых строчек, пусть для простоты это будут строчки 1,2,...,r. Остальные строчки линейно выражаются через них. Поэтому можно в матрице $\Delta(z)$ к последним n-r строчкам прибавить такие линейные комбинации первых r строчек (при этом $\det\Delta(z)$ не меняется), что в точке $\xi$ это будут нулевые строки. Но тогда кратность корня $\xi$ будет не меньше $n-r$, т.е. $n-r\leqslant1$, но $n-r$ и есть искомая размерность..

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group