Сжимающее отображение в R^n

[Slakov80]

Пусть $f: x\mapsto Ax$ линеиное преобразование пространства $R^n$ (А - матрица n на n). Как определить является ли преобразование сжимаюшим (имеет единственню неподвижню точку) в терминах матрици А?

[RIP]

Линейное отображение сжимающее тогда и только тогда, когда его норма меньше 1. Норма отображения зависит от того, какая норма берётся в пространстве векторов. Например, если в $\mathbb{R}^n$ берётся евклидова норма, то норма отображения - это квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы $A^TA$ (они все неотрицательны). Это называется спектральная норма матрицы $A$.

Кстати, сжимаемость отображения --- достаточное, но не необходимое условие существования единственной неподвижной точки.