Почему производная y=|x| не определена в нуле?

[belo4ka]

Почему производная $y=|x|$ не определена в нуле? Возможно ли это доказать?

[Joker_vD]

Потому что предела $\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}x$ не существует.

[Aritaborian]

belo4ka, возьмите определение производной и попытайтесь её определить. У вас не получится. Тогда поймёте, почему.

(Оффтоп)

А если получится, сообщите результат нам, хорошо? ;-)

[belo4ka]

Спасибо.

$\lim\limits_{\Delta x\to 0+0}\dfrac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}$

1) $x>0,\Delta x>0$

$\lim\limits_{\Delta x\to 0-0}\dfrac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=1$

2) $x<0,\Delta x<0$

$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{-x-\Delta x+x}{\Delta x}=-1$

3) $x\cdot \Delta x$ оО Тут еще 4 подслучая.

Видимо по первым двум случаям можно уже сказать, что предел не существует, так как он должен быть единственным.

[SpBTimes]

Подслучая всего 2

[master]

На будующее. Если сильно нужно
там множество производных от -1 до 1

[Aritaborian]

master в сообщении #692052 писал(а):

там множество производных от -1 до 1

Не понял. Там всего два подслучая. Предел в нуле слева — $1$, справа — $-1$. Как в конце концов правильно вычислил ТС. Какое ещё множество производных?

[Nemiroff]

Aritaborian в сообщении #692138 писал(а):

Какое ещё множество производных?

Субдифференциал.

[Aritaborian]

Спасибо за разъяснение. Узнал кое-что новое ;-)

[Алексей К.]

belo4ka в сообщении #692013 писал(а):

1) $x>0,\Delta x>0$
..............
2) $x<0,\Delta x<0$

Странно, --- в теме производная в нуле ищется, а рассматриваются совсем ненулевые случаи ($x\lessgtr 0$). (Там есть какой-то третий, но совсем невнятно написан).