Система с бесконечным числом неизвестных (вероятности)

[lera_]

У меня такая система:
$ \left\{ \begin{array}{l} p_1 = 2-2k-2p_0,\\ p_i = 2kp_{i-2}-p_{i-1}, i=2, 3, ...\\ p_0+p_1+p_2+...=1 \end{array} \right. $
В последнем уравнении бесконечное количество членов.
Требуется выразить p_0 через k.
Помогите, пожалуйста.

[незваный гость]

А Вы, часом, нигде не ошиблись? а то ответ уж больно странный получается.

Ну да ладно. По существу: один из возможных подходов — воспользоваться идеей, аналогичной вычислению формулы общего члена для чисел Фибоначи. Дальше, получив общий член, заняться сложением. Попутно выяснить, для каких $k$ и $p_0$ сумма существует. После чего получить ответ: сумма всегда (когда существует), равна 1.

[RIP]

незваный гость писал(а):

После чего получить ответ: сумма всегда (когда существует), равна 1.

Кроме случая $k=1,p_n=0,n\geqslant0$.

То, что кроме указанного случая сумма всегда равна $1$, проще доказать так:
Если обозначить $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}p_nx^n$, то получаем $f(x)=\frac{p_0+(p_0+p_1)x}{1+x-2kx^2}$. Если ряд сходится, то он обязан равняться $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ \frac{2p_0+p_1}{2-2k}=1$.

Но выяснять, когда ряд сходится, по-моему, проще так, как предлагал незваный гость.

Upd. Может быть, предполагается $k\in[0;1)$? Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.

[lera_]

Спасибо большое за советы.
Я проверяла вывод системы несколько раз, кажется, что все так и получается. Только забыла вставить, что p_i - это вероятности, то есть их значения в диапазоне от 0 до 1.
По совету незваный гость (во всяком случае, как поняла) я пыталась получить выражение для общего члена по аналогии с числами Фибоначчи. Обозначила p_0=m и выразила p_i через m и k.
Вот формула:
p_i= (\frac m 2+\frac {4k+3m-4} {2\sqrt{1+8k}})(\frac{-1-\sqrt{1+8k}} 2)^i+(\frac m 2-\frac {4k+3m-4} {2\sqrt{1+8k}})(\frac{-1+\sqrt{1+8k}} 2)^i.
Затем суммирую от 0 до бесконечности.
Слева имеем единицу, справа Maple выдает тоже единицу. Как мне получить выражение для m через k, я не могу понять.

Добавлено спустя 30 минут 54 секунды:

Если суммировать от 1 до бесконечности, то слева имеем 1-m, тогда результат - m=1. Что-то мне не нравится это.

Добавлено спустя 31 минуту 29 секунд:

Последнее мое предложение - ошибка. Там тоже ничего не выводится.

[RIP]

Выражение m через k при $k\in[0;1)$ можно получить из тех соображений, что ряд $\sum p_n$ должен сходиться, т.е. коэффициент при $(\frac{-1-\sqrt{1+8k}}2)^i$ должен равняться 0.

[незваный гость]

Все это суммирование будет иметь смысл, только если ряд сходится. Фишка в том, где он сходится (т.е., когда $p_i \to 0$). А Maple? что Maple: он условий сходимости не проверяет.

lera_ писал(а):

Если суммировать от 1 до бесконечности, то слева имеем 1-m, тогда результат - m=1. Что-то мне не нравится это.

А почему? Вы не находите, что это логично? У Вас нулевой член аккурат равен $m$.

RIP писал(а):

Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.

Ваше выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$, конечно же верно. Но если подставить $p_1$ из условия, получим $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ 1$.

[RIP]

незваный гость писал(а):

:evil:

RIP писал(а):

Тогда, действительно, можно $p_0$ выразить через $k$.

Ваше выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$, конечно же верно. Но если подставить $p_1$ из условия, получим $f(1)\ \overset{k\ne1}{=}\ 1$.

К чему Вы это сказали? $p_0$ выражается через $k$ из других соображений (см. мой предыдущий пост). А выражение $\frac{2p_0+p_1}{2-2k}$ я приводил как раз для док-ва того, что сумма равна 1. Или я чего-то не догнал?

[незваный гость]

RIP писал(а):

К чему Вы это cказали?

Перечитал все вместе, понял. Мое сообщение было, в основном, к тому, что последнее равенство выполняется всегда, когда ряд сходится (т.е., из него ничего извлечь нельзя).

P.S. А этот случай сходимости я, кстати, упустил.

[lera_]

Всем спасибо за участие к моей проблеме.

незваный гость писал(а):

А почему? Вы не находите, что это логично? У Вас нулевой член аккурат равен $m$.

Я же написала там ниже, что ошиблась. То есть считала непонятно что. Теперь, кажется, более или менее разобралась.