неразрешимость диофантова уравнения x^n = ny^x + nxy

[maxal]

Докажите, что уравнение $x^n = ny^x + nxy$ не имеет решений в целых положительных числах $x,y,n$.

[Руст]

Если простое $p|x$, то $p|y$ и обратно $p|y\to p|x$.
Случай $x=1,y=1$ не является решением. Не является решением даже нечетное х.

Случай $x=2$ дает $2^n=ny(y+2)\to y=2\to n=2^{n-3}$ - нет решения.

Для $p|x$ запишем $nv_p(x)=v_p(ny)+v_p(y^{x-1}+x)$.
Если $v_p(y^{x-1})=v_p(x)$, то $v_p(x)=(x-1)v_p(y)$, что возможно только при $x=2=p$. который исключили.
Соответственно, всегда $v_p(y^{x-1})>v_p(x)$, а следовательно
$(n-1)v_p(x)= v_p(n)+v_p(y)$. Случай $n=1$ исключается, поэтому $v_p(y)=(n-1)v_p(x)-v_p(n)$, что приводит к $y^{x-1}>x^n$, т.е. нет равенства.

[maxal]

Руст в сообщении #690810 писал(а):

Если простое $p|x$, то $p|y$

Это нужно доказать.

[Руст]

maxal в сообщении #690824 писал(а):

Руст в сообщении #690810 писал(а):

Если простое $p|x$, то $p|y$

Это нужно доказать.

Я это не использую до сих пор
Соответственно, всегда $v_p(y^{x-1})>v_p(x)$, а следовательно
$(n-1)v_p(x)= v_p(n)+v_p(y)$. Случай $n=1$ исключается, поэтому $v_p(y)=(n-1)v_p(x)-v_p(n)$, что приводит к $y^{x-1}>x^n$, т.е. нет равенства.
Из последнего $(n-1)v_p(x)=v_p(n)+v_p(y), n>1$ это вытекает.
Фактический это не используется а получается как следствие доказываемого.

[maxal]

Руст в сообщении #690838 писал(а):

а следовательно
$(n-1)v_p(x)= v_p(n)+v_p(y)$.

Дальше можно проще. В виду произвольности $p|x$, последнее равенство означает, что $x^{n-1} = ny$. Подстановкой в исходное уравнение получаем: $x^n = ny^x + x^n$, то есть $ny^x = 0$.