Найти возможные значения.

[Руст]

Известно, что $n>2$ различных чисел $a_1,a_2,...,a_n$ удовлетворяют условию:

$$a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=...=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}.$$

Найти все возможные значения $a_1+\frac{1}{a_2}.$

[xmaister]

Хорошая задача. Где-то уже обсуждалась...

[вздымщик Цыпа]

Для каждого $n$ их довольно легко вычислить. Это корни многочленов, которые находятся например так (maxima):

_p(c,z) := 1/(c - z)$

p(n) := ratsimp(if n = 0 then z else _p(c, p(n-1)))$

_ff(n,m) :=
  if m = 0 then 1
  else
    ratsimp((if mod(n,m) = 0 then f(m) else 1)*_ff(n,m-1))$

f(n) := ratsimp(num(ratsimp(p(n) - z)) / _ff(n,n-1))$

for i:3 thru 20 do tex(factor(f(i)));

$(c-1)(c+1)$

$c^2-2$

$(c^2-c-1)(c^2+c-1)$

$c^2-3$

$(c^3-c^2-2c+1)(c^3+c^2-2c-1)$

$c^4-4c^2+2$

$(c^3-3c-1)(c^3-3c+1)$

$c^4-5c^2+5$

$(c^5-c^4-4c^3+3c^2+3c-1)(c^5+c^4-4c^3-3c^2+3c+1)$

$c^4-4c^2+1$

$(c^6-c^5-5c^4+4c^3+6c^2-3c-1)(c^6+c^5-5c^4-4c^3+6c^2+3c-1)$

$c^6-7c^4+14c^2-7$

$(c^4-c^3-4c^2+4c+1)(c^4+c^3-4c^2-4c+1)$

$c^8-8c^6+20c^4-16c^2+2$

$(c^8-c^7-7c^6+6c^5+15c^4-10c^3-10c^2+4c+1)(c^8+c^7-7c^6-6c^5+15c^4+10c^3-10c^2-4c+1)$

$c^6-6c^4+9c^2-3$

$(c^9-c^8-8c^7+7c^6+21c^5-15c^4-20c^3+10c^2+5c-1)(c^9+c^8-8c^7-7c^6+21c^5+15c^4-20c^3-10c^2+5c+1)$

$c^8-8c^6+19c^4-12c^2+1$

Но какой-то закономерности (кроме разницы чет-нечет), которую можно было бы доказать, что-то не видно.

[Руст]

Решение выражается в явном виде через элементареую функцию, иначе я бы не задавал.

[вздымщик Цыпа]

$$ p_1(c) = 1,\quad p_2(c) = 0,\quad p_{k+2}(c) = cp_{k+1}(c) - p_k(c) $$

$$ a_k = \frac{p_k(c)x-p_{k+1}(c)}{p_{k+1}(c)x-p_{k+2}(c)} $$

$$ \begin{aligned} a_{k} + \frac{1}{a_{k+1}} &= \frac{p_k(c)x-p_{k+1}(c)}{p_{k+1}(c)x-p_{k+2}(c)} + \frac{p_{k+2}(c)x-p_{k+3}(c)}{p_{k+1}(c)x-p_{k+2}(c)} = \\ &=\frac{p_k(c)x-p_{k+1}(c)}{p_{k+1}(c)x-p_{k+2}(c)} + \frac{(cp_{k+1}(c) - p_k(c))x-(cp_{k+2} - p_{k+1}(c))}{p_{k+1}(c)x-p_{k+2}(c)} = \\ &= c\\ \end{aligned} $$

Если $p_{n+2}(c) = 0$, то $p_{n+3}(c) = -p_{n+1}(c)$ и $a_{n+1} = x = a_1$.

Поскольку $p_3(c) = -1$ и $p_4(c) = -c$, то очевидно $p_{n+3}(c) = -U_n(c/2)$, где $U_n(x)$ — многочлены Чебышева 2-го рода, для которых справедливо тождество $U_n(\cos(\theta)) = \sin((n+1)\theta)/\sin\theta$.

Ну и все тогда. Только при выписывании окончательного решения для $n$ надо не забыть выкинуть из него решения для всех $m$, таких что $m|n$ иначе не все $a_k$ будут различны.

Спасибо. Это было хорошее развлечениe на вечер выходного :)

[Руст]

Можно было довести до окончательной формулы $2\cos \frac{k\pi}{n}$, где $k=1,..,n-1, (k,n)=1$ взаимно простые числа.

[xmaister]

Вот здесь №4 похожа, но немного не та.... обшибся.