Притяжение между половинами шара

[Omega]

Здравствуйте,помогите пожалуйста разобраться вот с такой задачей.
Имеется однородный шар с радиусом $R$ и равномерно распределенной плотностью $\rho$.
На расстоянии $H$ от центра, шар разрезали плоскостью параллельной диаметральной.Необходимо вычислить силу $F$ притяжения между получившимися половинами шара.
Я совершенно не знаю,можно ли решить эту задачу так:
Найдём центр тяжести малой половины шара:

$$x_{1}=\dfrac{\pi \int\limits_{H}^{R} (R^{2}-x^{2})x dx }{\pi \int\limits_{H}^{R} (R^{2}-x^{2}) dx }-H=\dfrac{(R-H)(3R+H)}{4(H+2R)}$$

Найдём центр тяжести большей половины шара:

$$x_{2}=\dfrac{m_{2}(x_{3}+x_{4})}{m_{1}+m_{2}}-x_{3}$$

Здесь $m_{2}$ - масса полушара,а $x_{3}$ - расстояние от центра шара до центра тяжести полушара.
Также $m_{2}$ - масса части шара без меньшей отрезанной части и полушара,а $x_{4}$ - расстояние от центра шара до центра тяжести этой самой третей части.

$$x_{3}=\dfrac{\pi \int\limits_{0}^{R} (R^{2}-x^{2})x dx }{\pi \int\limits_{0}^{R} (R^{2}-x^{2}) dx }=\dfrac{3R}{8};x_{4}=\dfrac{\pi \int\limits_{0}^{H} (R^{2}-x^{2})x dx }{\pi \int\limits_{0}^{H} (R^{2}-x^{2}) dx }={\frac {3H \left( {H}^{2}-2\,{R}^{2} \right) }{4\,{H}^{2}-12\,{R}^{2}}}$$

$$m_{1}=\rho \pi \int\limits_{0}^{R} (R^{2}-x^{2}) dx =\dfrac{2 \rho \pi R^{3}}{3};m_{2}=\rho \pi \int\limits_{0}^{H} (R^{2}-x^{2}) dx =\rho \pi \left ( R^{2}H-\dfrac{H^{3}}{3} \right)$$

В итоге:

$$x_{2}=\dfrac{3}{4} \dfrac{(H-R)^{2}}{H-2R}$$

И вот, что я думаю:

$$F=\dfrac{G M_{1} M_{2}}{(x_{1}+H-x_{2})^{2}}$$

Здесь $M_{1}$ и $M_{2}$ - массы разрезанных частей шара...Тогда окончательно:

$$F=-\dfrac{\rho^{2} \pi^{2} G}{81 R^{6}} (H^{2}-4R^{2})^{3}(H^{2}-R^{2})^{2}$$

То есть,например, если $H=R$ (шар разрезали на равные половины), то $F=\dfrac{64 \rho^{2} \pi^{2} G R^{4}}{81}$
Пояснительный рисунок:

Я практически во всех пунктах решения сомневаюсь, подскажите как правильно решить эту задачу.

[Munin]

Нельзя так решать, разумеется. Дело в том, что два шара притягиваются друг к другу как два точечных тела такой же массы, если они расположены в геометрических центрах шаров - в их центрах масс (которые вы ошибочно называете центрами тяжести). Но это - отдельная теорема. В общем случае тела неправильной формы или неоднородного распределения плотности притягиваются между собой не как два точечных тела, и даже рассчитывать их центры масс бессмысленно.

Чтобы найти притяжение двух тел друг к другу, надо буквально поделить их на элементарные кусочки, и посчитать силы притяжения "каждый с каждым". Векторная сумма таких сил и будет силой, действующей между двумя телами. То есть (полужирным шрифтом обозначены векторы),

$$\mathbf{F}=\int\limits_{V_1}\int\limits_{V_2}d^2\mathbf{F}=\int\limits_{V_1}\int\limits_{V_2}\dfrac{G\,\,\rho_1\,dV_1\,\,\rho_2\,dV_1\,\,\mathbf{r}_{12}}{|\mathbf{r}_{12}|^3}$$

$\biggl($где векторная формула закона притяжения между двумя точками $\left.\mathbf{F}_{12}=\dfrac{GM_1M_2}{r_{12}^2}\dfrac{\mathbf{r}_{12}}{r_{12}}=\dfrac{GM_1M_2\mathbf{r}_{12}}{r_{12}^3}\right),$

и дальше это выражение уже надо расписывать в координатах. Примерно так:

$$\mathbf{r}_{12}\qquad\to\qquad\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1},$$

$$\int\limits_{V}\ldots dV\qquad\to\qquad\iiint\limits_{V}\ldots dx\,dy\,dz,$$

$$|\mathbf{v}|\qquad\to\qquad\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2},$$

$$\mathbf{v}\qquad\to\qquad v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}.$$

То, что получится, мне даже лень выписывать :-) И потом получившиеся интегралы надо будет напрямую брать. За счёт специально выбранной системы координат, у вас легко выбросить два из трёх интегралов: вектор силы будет направлен вдоль одной оси координат, и другие проекции будут равны нулю. Но других больших упрощений я здесь не вижу.

-- 03.03.2013 10:17:51 --

Вы же с этим уже сталкивались в задаче «Две плиты»... Забыли?

[DimaM]

Я бы сделал так: шар находится в равновесии, поэтому сила притяжения уравновешивается разностью давлений. Рассмотрим тонкий цилиндр от поверхности до какого-нибудь радиуса $r$. Силу притяжения можно найти интегрированием, и получить давление внизу (вверху считаем ноль)

$$P=\frac{2}{3}\pi\rho^2G(R^2-r^2).$$

Дальше надо давление проинтегрировать по площади поверхности отреза, и получится сила отталкивания, которая из равновесия равна силе притяжения. У меня вышло

$$F=\frac{1}{3}\pi^2G^2(R^2-r^2)^2.$$

[Munin]

P. S. В векторной формуле закона притяжения, разумеется, стоит знак минус, я его забыл :-) $\mathbf{F}_{12}=-\ldots\mathbf{r}_{12}.$ Но на расчёты это никак не влияет.

-- 03.03.2013 10:25:47 --

DimaM
Закон Паскаля используете? Хорошая идея.

[Omega]

Уважаемы участники форума, если кому-то из Вас будет не трудно,покажите мне пример кратких вычислений той же самой задачи,но,например, с цилиндром с заданным радиусом $R$, плотностью $\rho$, длиной $L$...
Ну и пусть $H$ - расстояние от места разреза до центра цилиндра.

[Munin]

А зачем? Моим методом это будет не проще, более простым методом DimaM - ещё сложнее.

[Omega]

Я всего-навсего хочу разобраться)
То есть,например, между равными половинами цилиндра так считать:

$$F=\int\limits_{0}^{\frac{L}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{L}{2}}\dfrac{G \rho^{2} \pi^{2} R^{4}}{(L/2+h)^{2}}dh dh=\dfrac{\pi^{2} \rho^{2} G R^{4}}{2}$$

Что-то вроде: каждый "маленький слой" одной половины притягивается к каждому из "маленьких слоёв" второй половины?

[Munin]

Ещё раз. Притяжение между этими "маленькими слоями" нельзя считать, как притяжение между точечными телами. НЕЛЬЗЯ. НЕЛЬЗЯ.

[nikvic]

DimaM в сообщении #690447 писал(а):

Я бы сделал так: шар находится в равновесии, поэтому сила притяжения уравновешивается разностью давлений.

[rustot]

Munin в сообщении #690466 писал(а):

Притяжение между этими "маленькими слоями" нельзя считать, как притяжение между точечными телами

просто в качестве наглядного примера почему так делать нельзя: силы между пустотелой сферой и находящимся внутри нее телом отсутствует, при любом взаимном положении их центров масс

[DimaM]

rustot в сообщении #690499 писал(а):

просто в качестве наглядного примера почему так делать нельзя: силы между пустотелой сферой и находящимся внутри нее телом отсутствует, при любом взаимном положении их центров масс

Еще лучше так: сила взаимодействия между точечной массой и бесконечным тонким листом конечна и не зависит от расстояния.

[nestoronij]

Формулировка Вашей задачи,ну очень трудоёмкая. Если у Вас есть интерес, то я бы воспроизвёл решение вопроса о взаимодействии тонкого диска массой М с $ \Delta m $. Так вот предсавтьте: одну половину шара "дробите" на диски, считаете силы этой половины с $ \Delta m $ , а потом соображаете, что эта $ \Delta m $ принадлежит сфере.

(Оффтоп)

Сами придумали или... Не встречал таких задач.

[type2b]

еще один метод:
на маленький объемчик с радиус-вектором $\vec{r}$ внутри шара со стороны всего шара действует сила $\frac{4}{3}G\pi\rho\vec{r}\,{\rm d}m$. Проинтегрируем эту штуку по меньшей половине шара. При этом внутренние силы автоматически сократятся.
Получится $\frac{4}{3}G\pi\rho\vec{x}\Delta m$, где $\vec{x}$ -- радиус-вектор центра масс малой половины, $\Delta m$ -- ее масса. Эти величины топикстартер уже подсчитал. Подставляем и получаем тот же ответ, что у DimaM.

[Omega]

Да,ответ у меня сошёлся,но я так до конца и не понял, type2b, разъясните,пожалуйста поконкретнее - что такое "радиус-вектор центра масс малой половины"? И почему при интегрировании получается именно этот "радиус-вектор"?

[type2b]

ну, просто вектор, проведенный из центра шара.
Еще раз: внутри шара поле ведет себя как $\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \frac{G}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}\propto \vec{r}$, поэтому сила пропорциональна $\int \vec{r}\,{\rm d}m=\vec{r}_{\rm center\,of\, mass}m$.