Интеграл энергии

[Бабай]

Привет!

Разбираю теорему 3.13 на стр. 149 книжки Галеева и других "Оптимальное управление".

В этой теореме хотят показать, что если интегрант для многомерного аналога простейшей задачи вариационного исчисления (где ищется функция, исчезающая на границе области), удовлетворяет условиям роста (что эквивалентно коэрцитивности задачи), квазирегулярности (то есть выпуклости по переменной с градиентом), и гладкости (интегрант и его производная по переменной с градиентом непрерывны), то соответствующий функционал полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости на пространстве Соболева $W^1_q$ (где $1<q<\infty$).

Так как доказательство совсем не очевидно, то хотел взять функционал $J(y)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nabla y|^2 \, dx$ (на $W^1_2=H^1$, а точнее на $H^1_0$) и испробовать ход док-ва на нём. Но запутался и подумал, а нельзя ли просто заключить слабую полунепрерывность снизу из (сильной) полунепрерывности снизу, так как функционал выпуклый? И можно ли заключить о его сильной полунепрерывности снизу сразу с помощью теоремы Фату? Или это слишком просто и что-то упущено из виду?

[Oleg Zubelevich]

Бабай в сообщении #690130 писал(а):

а нельзя ли просто заключить слабую полунепрерывность снизу из (сильной) полунепрерывности снизу, так как функционал выпуклый?

можно

Бабай в сообщении #690130 писал(а):

И можно ли заключить о его сильной полунепрерывности снизу сразу с помощью теоремы Фату

вообще-то норма является непрерывной функцией и без теоремы Фату

[Бабай]

Oleg Zubelevich в сообщении #690168 писал(а):

вообще-то норма является непрерывной функцией и без теоремы Фату

Момент, норма? То есть в нашем случае Вы про $||.||_{H^1_0}$?

[Oleg Zubelevich]

да

[Бабай]

ОК, ну да…тогда всё ясно.

Благодарю!

[Бабай]

Уважаемый Олег Зубелевич!

Хотел было отправить Вам личное сообщение, но что-то не вижу, как это можно сделать. Так что пишу прямо сюда, в надежде, что увидите всё это.

Я ту теорему из указанной книги пока отложил, так как до конца не разобрался.
Сейчас думаю вернуться и мне нужна помощь. Не хотелось, однако, выписывать весь ход док-ва сюда, а так как ответили пока только Вы, подумал, что может быть у Вас вообще указанная книжечка (случайно) имеется и Вы могли бы ответить на прямые вопросы ко всем непонятным деталям. Поэтому и думал в личку написать. (Если Вы конечно не против) Но, как уже сказал, не вижу, как это сделать! Где кнопка?

Или мне всё-таки лучше всё выписать сюда со всеми вопросами? (Напомню, что время -- деньги, а денег у меня нет)



Заранее благодарю Вас и всех Модераторов за понимание!