Марковские цепи

[lera_]

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей.
Детали поступают в систему в соответствие с пуассоновским распределением с параметром \lambda. Затем их объединяют в комплекты по n штук и подвергают обработке на единственном аппарате. Время обработки деталей на аппарате - случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с параметром \mu. Если деталей в системе недостаточно для формирования комплекта, то обработка откладывается до тех пор, пока в системе не будет ровно n необработанных изделий.
Задание:
Пусть $X_n - количество необработанных деталей в системе в момент окончания обработки n-ого комплекта. Для n=1, 2 найти P($X=i), i=1, 2, ..., где $X - стационарное количество необработанных деталей в системе в момент окончания обработки комплекта.
Решение:
В случае n=1 у меня все получилось.
Пусть $Y_n - количество деталей, поступивших в систему во время обработки n+1-ой детали. Тогда $X_{n+1}=X_n+Y_n-1, если $X_n>0, и $X_{n+1}=Y_n, если $X_n=0. Показала, что $X_n - Марковский процесс. Получила производящую функцию для $X в виде
$G_X(z)=\frac {P(X=0)(z-1)G_Y(z)} {z-G_Y(z)}$= $\frac {1-\rho} {1-z \rho}$,
где \rho=\frac {\lambda} {\mu}$. При этом использовалось, что G_Y(z)= \frac {\mu} {\mu+(1-z)\lambda}.
Отсюда P($X=i)=(1-\rho)\rho^i.
Если же n=2, то пока ничего не получается. Я нашла, что
$G_X(z)=\frac {(P(X=0)(z^2-1)+P(X=1)z(z-1))G_Y(z)} {z^2-G_Y(z)}$= $\frac {2z(1-\rho)-(z-1)P(X=0)} {z+1-2 z^2 \rho}$, где \rho=\frac {\lambda} {2\mu}$.
При этом если разложить левую и правую часть этого выражения в полиномы и приравнивать коэфиициенты при соответствующих степенях, то мы найдем зависимость всех P($X=i) от P($X=i-1) и P($X=i-2). Понятно, что из условия равенства суммы всех вероятностей единице, мы можем найти их все, но при выражении всех P($X=i) через P($X=0) получаются слишком громоздкие выражения, поэтому так просто это не решить. Хотя, очевидно, что для решения задачи достаточно найти P($X=0).
Возможно, что я слишком сложным способом пытаюсь решать, ведь задача кажется достаточно простой на первый взгляд. Помогите мне, пожалуйста.