Найти кривизну, зная касательную и нормаль

[chernyi]

Дано:
$ \left\{\begin{matrix} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \end{matrix} $ - система гладких функций, задающая кривую в окрестности точки $ (x_0, y_0, z_0) $.
Найти геодезическую кривизну кривой в этой точке.

Что получилось:
$ \vec{m_1} = \operatorname{grad} F (x_0,y_0,z_0)$ - вектор нормали в поверхности F
$ \vec{m_2} = \operatorname{grad} G (x_0,y_0,z_0)$ - вектор нормали в поверхности G
$ \vec{v} $ - касательный вектор к кривой
$ \vec{v} \perp \vec{m_1} $ , $\vec{v} \perp \vec{m_2} $, следовательно, $ \vec{v} = \vec{m_1} \times \vec{m_2}$
$ \vec{n} $ - главная нормаль к кривой
$ \vec{n} \perp \vec{v}$, значит $\vec{n} = \alpha \vec{m_1} + \beta \vec{m_2}$
По определению геодезической кривизны, $\kappa_g = $ "длина проекции $\kappa n $ на касательную плоскость". Путем несложных рассуждений получаем, что $\angle (\vec{n},\vec{m_1}) = \angle(\vec{n}, \vec{m_2}) + \pi k$.
Тогда $ \vec{n}$ - биссектриса между векторами $\vec{m_1}, \vec{m_2}$.
$ \vec{n} = \pm (\vec{m_1} + \vec{m_2})$
А ещё $\kappa_g = \kappa \cdot \sin(\angle (\vec{n},\vec{m}))$, где $\kappa$ - это кривизна кривой в $ (x_0, y_0, z_0) $. Получилось, что осталось найти только кривизну.

Как это сделать?
На всякий случай, напомню, что $\vec{v} = \vec{v}(x,y,z)$ и $\vec{n} = \vec{n}(x,y,z)$ - функции от 3 переменных.

Deggial: формулу поправил. Гляньте