Васины гирьки

[Ktina]

(Каскевич В.И.) У Васи есть n гирек общим весом 300 граммов. Каждая гирька весит
целое положительное число граммов.

При каком наименьшем n можно гарантировать, что каков бы ни был набор гирек у Васи, их
можно разбить на три группы так, что в каждой группе общий вес гирек будет равен 100 граммов?

[Ontt]

$n=201$.
При $n=200$ возможен "плохой" набор гирек из одной гирьки в 101 грамм и 199 гирек по 1 грамму.
При $n=201$ в наборе будет как минимум 102 гирьки по 1 грамму, а остальные 99 гирек всегда можно будет разделить на три кучки весом $100-x, 100-y, 100-z$, такие, что $x+y+z=102$.

[Ktina]

Ontt в сообщении #689344 писал(а):

При $n=201$ в наборе будет как минимум 102 гирьки по 1 грамму, а остальные 99 гирек всегда можно будет разделить на три кучки весом $100-x, 100-y, 100-z$, такие, что $x+y+z=102$.

При $n\ge 201$ можно пойти другим путём.
Расставим все гирьки в ряд и пронумеруем: $g_1, g_2, \dots , g_n$.
Рассмотрим суммы $g_1, g_1+g_2, g_1+g_2+g_3, \dots , g_1+g_2+g_3+\dots +g_n$
Так как этих сумм не менее 201, три из них дадут одинаковые остатки при делении на 100.
Пусть это суммы $g_1+g_2+\dots +g_a< \quad g_1+g_2+\dots +g_b <\quad g_1+g_2+\dots +g_c$
Тогда группа гирек с $g_{a+1}$ по $g_{b}$ и группа гирек с $g_{b+1}$ по $g_{c}$ будут иметь массу, кратную 100.
Если одна из этих двух групп имеет массу больше 100, то обе группы должны весить не менее 300, но это невозможно, так как гирька $g_1$ в них не входит. Значит, обе эти группы весят ровно по 100. И тогда то, что осталось, тоже весит 100.

Ошибки есть?