Кальтековское множество

[Ktina]

Предположим, $S$ является таким множеством, содержащим 2013 попарно различных натуральных чисел, что среднее арифметическое и среднее геометрическое элементов его любого непустого подмножества является целым числом.

Приведите пример такого множества.

(Олимпиада Кальтека, индивидуальный раунд, вольный перевод с английского)

[hippie]

Множество $\{2013!\cdot a_1^{2013!},\ 2013!\cdot a_2^{2013!},\ 2013!\cdot a_3^{2013!},\ \dots,\ 2013!\cdot a_{2013}^{2013!}\},\ $ где $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_{2013}\ $ попарно различные натуральные числа.