2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 16:55 
Аватара пользователя
Пусть есть некоторое уравнение $f(x)=g(x).$ Как доказать, что замена, например, выражения $f(x)$ выражением, определяемым некоторым абсолютным тождеством, будет равносильным преобразованием?
Например, пусть изначально $f(x)=(1+x)^2$. и мы заменили это выражение в уравнении на $1+2x+x^2$ в силу абсолютного тождества $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 17:02 
Аватара пользователя
larkova_alina в сообщении #688477 писал(а):
Как доказать, что
Сначала надо определить, что понимается под "доказать".

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 17:06 
Аватара пользователя
TOTAL, наверное максимально формальное обоснование. Я не знаю.

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 18:06 
Если хотите формально доказать, то сначала надо сформулировать доказываемое утверждение.
Например так: $A=B \wedge B=C \Rightarrow A=C$.
Вот преобразование $A=B \wedge B=C \Rightarrow A=C$ не обращается назад. А преобразование $A=B \wedge B=C \Leftrightarrow A=B \wedge A=C$ равносильно (просто покажите, что обратное следствие выполняется. Этого вполне достаточно. Если еще формальнее нужно, то нужно идти в исчисление предикатов с равенством и там лазить).

Это если я правильно понял, что надо доказать :?
Возможно, надо так: пусть $x\in M \Leftrightarrow f(x)=g(x)$, тогда надо доказать, что $f(x)=g(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y)) \Leftrightarrow g(x)=h(x)$. Ну последнее, понятно, неверно, т.к. теряется определение $f(x)$, а если его добавить, то получим почти то же, что и выше :roll: (это уже не помню что - исчисление предикатов с равенством и с функциональными символами (если такое бывает :oops: ))
Вообще, $f(x)=g(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y)) \Leftrightarrow g(x)=h(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y))$ симметрично, так что оно как следует в одну сторону, так же следует и в другую.
А! Ну вот, я как правильно записал, так сразу стало понятно: это правило подстановки + транзитивность равенства.

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 18:23 
Аватара пользователя
Sonic86, а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 18:30 
larkova_alina в сообщении #688509 писал(а):
а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?
Без исчисления предикатов (или чего-то аналогичного по строгости и современности) получится не доказательство, а лишь его имитация. Доказательство -- это математическое понятие, определяемое в логике. Школа тут далековато.

 
 
 
 Re: Как доказать равносильность преобразования?
Сообщение26.02.2013, 19:38 
larkova_alina в сообщении #688509 писал(а):
Sonic86, а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?

Здесь почитайте
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы.
Когда-то была классикой))

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group