Функция Лерха

[cool.phenon]

В одной из задач по функциональному анализу вылез вот такой ряд :

\begin{gather*} {f}\left(x\right)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty }{\frac{1}{{{2}^{k}}}}\frac{1}{x+k+1} \end{gather*}
Нужно доказать,что $\underset{x\to + \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$. Можно, конечно, сослаться на тот факт, что функция Лерха $L\left(\frac{1}{2},1,1+x\right) $ от $x$ стремиться к нулю на плюс бесконечности, но хотелось бы этого не делать. Как это можно сделать вручную?

[g______d]

При $x\ge -1$ верно $f(x)\le \frac{2}{x+1}$, разве нет?

[ewert]

Можно ещё чуток попижонить и свернуть сумму в интеграл $2\int\limits_0^1\dfrac{t^x}{2-t}\,dt$, с которым всё ясно. Или просто применить теорему типа Лебега непосредственно к ряду.

[cool.phenon]

g______d
Да,совсем прозрачно.Применить неравенство к дроби без двоек,а далее свернуть сумму. Спасибо, не заметил

ewert
И так тоже можно. Благодарю!