Теория квадратичных форм

[randy]

В задании нужно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью ТКФ
$x^2+2xy+y^2+z^2-1$
правильно ли я понимаю, что в заданном уравнении поверхности нужно рассматривать следующую квадратичную форму:
$1x^2+xy+0xz+1yx+1y^2+0yz+0zx+0zy+1z^2=0$?
может ли быть так, что в ходе преобразований уравнение поверхности перешло в уравнение кривой? У меня получилась такая кривая $x^2+1,96y^2=0$

[Sonic86]

randy в сообщении #687712 писал(а):

может ли быть так, что в ходе преобразований уравнение поверхности перешло в уравнение кривой?

нет

randy в сообщении #687712 писал(а):

У меня получилась такая кривая $x'^2+1,96y'^2=0$

это не кривая, это цилиндр (цилиндром называется всякая поверхность, выражаемая функцией от некоторого несобственного подмножества множества переменных $x_1,...,x_n$)
А вообще у Вас очень странное уравнение получилось. Руками решали?

[randy]

цилиндр - это поверхность. но может ли быть поверхность с двумя координатами (двумерное пространство)?

[Sonic86]

randy в сообщении #687716 писал(а):

поверхность с двумя координатами

не очень точно сказано. Поверхность со двумя внутренними координатами может быть.

randy в сообщении #687716 писал(а):

но может ли быть поверхность с двумя координатами (двумерное пространство)?

В двумерном пространстве поверхность, конечно, не может быть, а в 3-мерном - конечно может. Например - плоскость $z=a$.

[randy]

Sonic86 в сообщении #687713 писал(а):

randy в сообщении #687712 писал(а):

У меня получилась такая кривая $x'^2+1,96y'^2=0$

А вообще у Вас очень странное уравнение получилось. Руками решали?

нет, сервисом по перемножению матриц.
$\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ \frac{1}{\sqrt (2)}&\frac{1}{\sqrt (2)}&0 \\ \frac{1}{\sqrt (2)}&-\frac{1}{\sqrt (2)}&0 \\ \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&1 \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{\sqrt (2)}&\frac{1}{\sqrt (2)} \\ 0&\frac{1}{\sqrt (2)}&-\frac{1}{\sqrt (2)} \\ 1&0&0 \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1,96&0 \\ 0&0&0 \\ \end{pmatrix}$

Уравнение-то не совсем каноническое. Не подскажете, как от 1,96 избавиться и получить 1 в правой части?

[Sonic86]

Проще руками форму привести. Она приводится в одно действие. А хотя вру - я аффинный вид приводил.
Кроме того, Вы где-то свободный член потеряли.
А вообще уравнение

randy в сообщении #687712 писал(а):

$x^2+1,96y^2=0$

имеет канонический вид в евклидовом пространстве.

У Вас пространство какое? Аффинное или евклидово?

randy в сообщении #687738 писал(а):

Не подскажете, как от 1,96 избавиться

$1,96=1,4^2\approx\sqrt{2}^2$ - видимо ошибка округления

randy в сообщении #687738 писал(а):

получить 1 в правой части?

Просто допишите ее туда и все. Что такое приведение квадратичной формы к каноническому виду? - это просто линейная замена переменных, правой части (свободного члена) она не касается (если она однородна, а здесь это так).

[randy]

Насчет ошибки округления - может быть, но каноническое уравнение цилиндра $\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$
то есть нужно избавиться от $\sqrt (2)^2$

[Sonic86]

randy в сообщении #687742 писал(а):

но каноническое уравнение цилиндра $\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$

Ну и нет проблемы. Уравнение $x^2+2y^2=1$ является уравнением вида $\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$.

[randy]

Кроме преобразования вида $\frac {x^2}{1^2}+\frac {18y^2}{3^2}=1$ ничего придумать не могу...

[Nacuott]

У вас эллиптический цилиндр, ось цилиндра параллельна пл. ХОУ и цилиндр повернут вокруг оси OZ.

[Sonic86]

randy в сообщении #687751 писал(а):

Кроме преобразования вида $\frac {x^2}{1^2}+\frac {18y^2}{3^2}=1$ ничего придумать не могу...

Исходя из общего и частного видов уравнений запишите уравнения для $a,b$.

[ewert]

randy в сообщении #687738 писал(а):

Не подскажете, как от 1,96 избавиться

Просто не писать его. У Вас коэффициенты характеристического уравнения целые, и как минимум два его корня -- тоже очевидно целые, их даже считать не надо; ну как, скажите на милость, третий-то корень мок оказаться дробным?...

randy в сообщении #687751 писал(а):

Кроме преобразования вида $\frac {x^2}{1^2}+\frac {18y^2}{3^2}=1$

А какое отношение это замечательное преобразование имеет к $\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$ -- кроме того, что ни малейшего?...

[randy]

ewert в сообщении #687790 писал(а):

randy в сообщении #687738 писал(а):

Не подскажете, как от 1,96 избавиться

Просто не писать его. У Вас коэффициенты характеристического уравнения целые, и как минимум два его корня -- тоже очевидно целые, их даже считать не надо; ну как, скажите на милость, третий-то корень мок оказаться дробным?...

1,96 как мы выяснили, на самом деле является двойкой, если правильно перемножить три матрицы, которые я написал выше. Насчет преобразования согласен. А возможно ли вообще преобразовать получившееся уравнение цилиндра к каноническому виду, используя свойства, скажем, степеней?