Составные числа вида a00...0b или Мнговения весны

[Ktina]

Доказать, что для любых цифр $a$ и $b$ (ненулевых) существует бесконечно много составных чисел вида

$$\overline{a00\dots 0b}$$

[msg2000]

Бесконечно много чисел требуемого вида делятся, например, на 7.

[hippie]

Если $b\in \{ 2,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8\},$ то все эти числа составные.
В противном случае найдётся бесконечное количество таких чисел кратных $\overline{ab}.$
(Например, те, в которых количество нулей кратно $\varphi(\overline{ab}).$ Хотя, можно конкретные числа и не указывать, а сослаться на принцип Дирихле.)

2 msg2000
Вы действительно думаете, что бесконечное количество чисел вида $\overline{700\dots 001}$ делится на 7?

[nnosipov]

Если $a \neq 7$, то будет делимость на $7$ (так как $10$ --- первообразный корень по модулю $7$). Если $a=7$, то будет делимость на $17$ (по аналогичной причине).

[Ktina]

msg2000 в сообщении #687500 писал(а):

Бесконечно много чисел требуемого вида делятся, например, на 7.

10000...00007 когда делится на 7?

-- 24.02.2013, 12:17 --

nnosipov в сообщении #687514 писал(а):

...то будет делимость на $17$ (по аналогичной причине).

Из чего следует название задачи.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #687561 писал(а):

Из чего следует название задачи

Конгениально! А я всё думал, с какого боку здесь весна ...

[Руст]

Проще указать номера с количеством нулей, когда составное.
Во первых, если $b\not =1,3,7,9$ все числа делятся на 2 или 5. Если $3|a+b$, то так же все числа делятся на 3.
В оставшихся случаях или число $p=10a+b$ ( без внутренних нулей) простое, или делится на 7, в последнем случае берем $p=7$.
Тогда все числа с количеством нулей, делящихся на $p-1$ делятся на $p$.