диф. ур аналитические функции

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим уравнение

$$u_t=f(t,z,u,u_z)-(z^2u)_{zz},\quad z\in\mathbb{C},\quad u=u(t,z),\quad u(0,z)=0.$$

Функция $f$ непрерывна по $t\ge 0$ и голоморфна в нуле по остальным переменным. Доказать, что задача имеет решение $u(t,z)$ определенное при достаточно малых $t\ge 0$ дифференцируемое по $t$ , и голоморфное в нуле по $z$.

Написано не вполне формально, но должно быть понятно Если кого-то заинтересует напишу подробней.

[Oleg Zubelevich]

похоже эта задача технологичным домножением на $u$ и интегрированием не решается

[sup]

Похоже, Вы на мой пост намекаете
Здесь и не надо умножать и интегрировать. Рассматривая формальный ряд по степеням $z$, легко получить оценки на коэффициенты. Поэтому применяем небольшую вариацию метода Галеркина.
Пусть $F(t,z)$ - голоморфна в окрестности $z=0$, $F(t,z) = \sum \limits_{k=0}^{\infty}f_k(t)z^k$.
Обозначим $P_n(F) = \sum \limits_{k=0}^{n}f_k(t)z^k$
Очевидно,
$f_k(t) = \frac{1}{2\pi i}\int \limits_C \frac{F(t,s) ds}{s^{k+1}}$
Рассмотрим уравнение
$(u_n)_t + (z^2u_n)_{zz} = P_n(f(t,z,u_n,(u_n)_z))$
где
$u_n = \sum \limits_{k=0}^{n}a_k(t)z^k$
Ясно, что это уравнение сводится к некой системе
$a'_k + (k+2)(k+1)a_k = \Phi_k(a_1,a_2, \dots)$
$a_k(0)=0$
Для достаточно малого $R$ можно найти решение этой системы, удовлетворяющее неравенствам
$|a_k(t)| \leqslant CtR^k$
Ну а затем переходим к пределу.
Догадываюсь, что Вас не устроит такой набросок. Но тратить на нее больше усилий мне просто лень.
Но хотелось бы отметить следующее.
Задачи, которые Вы предлагаете, обладают почти очевидными априорными оценками. Наличие определенной квалификации позволяет довольно быстро эти оценки превратить в доказательство разрешимиости. Поэтому такие задачи не очень интересны для профессионалов.
Куда интереснее задачи в которых "хороших" оценок либо вовсе нет либо они не очевидны.
Вот Вам пример.

Трехмерное стационарное уравнение Навье-Стокса.
$-\Delta u + \sum u_i \partial u / \partial x_i = \nabla p + f$
$\operatorname{div} u = 0$
Обычно ищут гладкие решения, а вот мы займемся "не гладкими".
Можно ли доказать разрешимость этой задачи в пространстве $\mathring{W}^1_p$ для $f \in (\mathring{W}^1_q)^{*}$ для каких-нибудь $p<2$?
Вот Вам и проблема. Как получать оценки? Умножить на $u$ и проинтегрировать не получится. А других оценок вроде и нет. С другой стороны при $p> 3/2$ нелинейное слагаемое подчинено "лапласу" (с точки зрение суммируемости). Поэтому определенные надежды имеются.
Конечно, это задача не для студентов, но может быть кому-нибудь другому будет интересно.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #688500 писал(а):

Догадываюсь, что Вас не устроит такой набросок. Но тратить на нее больше усилий мне просто лень.

да как Вам сказать, эта задача (намеренно) простая из-за члена со второй производной, без этого члена она гораздо сложнее, но и стандартней. (В смысле других методов решения, не тех, что Вы предлагаете) Почти уверен, что данная задача (с членом со втторой производной) решается принципом сжатых отображений.

sup в сообщении #688500 писал(а):

Задачи, которые Вы предлагаете, обладают почти очевидными априорными оценками. Наличие определенной квалификации позволяет довольно быстро эти оценки превратить в доказательство разрешимиости. Поэтому такие задачи не очень интересны для профессионалов.

Так ставить вопос не надо. Потому, что во-первых это форум и я тут просто балуюсь, во-вторых, я легко могу Вам выкатить небанальную задачу , а после слов про "профессионализм" и "квалификацию" Вам придется ее решать уже без ссылок типа " тратить на нее больше усилий мне просто лень".

-- Вт фев 26, 2013 19:15:33 --

sup в сообщении #688500 писал(а):

Трехмерное стационарное уравнение Навье-Стокса.
$-\Delta u + \sum u_i \partial u / \partial x_i = \nabla p + f$
$\operatorname{div} u = 0$
Обычно ищут гладкие решения, а вот мы займемся "не гладкими".
Можно ли доказать разрешимость этой задачи в пространстве $\mathring{W}^1_p$ для $f \in (\mathring{W}^1_q)^{*}$ для каких-нибудь $p<2$?

это в порядке полного бреда (я как следует не смотрел) но я бы начал с соображений монотонности типа теоремы Минти

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #688533 писал(а):

Потому, что во-первых это форум и я тут просто балуюсь, во-вторых, я легко могу Вам выкатить небанальную задачу , а после слов про "профессионализм" и "квалификацию" Вам придется ее решать уже без ссылок типа " тратить на нее больше усилий мне просто лень".

Вы меня не поняли. Я вовсе не собирался представить себя как некого крутого профессионала, утомленно вещающего неучам что к чему. Просто первое с чем сталкиваешься, работая с уравнениями, это получение оценок. А после оценок вопрос: как превратить их в разрешимость? Так что волей-неволей учишься и тому и другому.
А насчет уравнения Навье-Стокса. Мне кажется, что это действительно интересная задача, поскольку в лоб ничего не получается. Метод найдется, оценки нужны. Например, берем гладкую правую часть. Гладкое решение существует. Можно считать что оно сколь угодно гладкое. Так что можно получать оценки на решении (а не на, скажем, приближениях Галеркина). Если теперь получить оценки, то можно устремить правую часть к чему нужно. Предельный переход без проблем, даже монотонность не нужна. По терминологии Лионса - чистый метод компактности.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #688609 писал(а):

Предельный переход без проблем, даже монотонность не нужна

кажется, Вы меня не поняли

Это теорема Минти-Браудера, Лионс "Некоторые методы...."

Я не утверждаю, что эта теорема подойдет, но я бы проверил

[sup]

В данном случае эта теорема применима лишь для $\mathring{W}_2^1(\Omega)$ т.е. при $p=2$.
В сущности, коэрцитивность и есть умножение на $u$ и интегрирование по частям. Для $p >2$ эту теорему можно использовать для доказательства разрешимости в $\mathring{W}_2^1(\Omega)$, а потом поднять гладкость решения до $\mathring{W}_p^1(\Omega)$. Для этого достаточно перенести нелинейное слагаемое в правую часть и воспользоваться теоремами о гладкости решений линейного уравнения Стокса.
Проблема случая $p <2$ как раз и состоит в том, что даже умножение на $u$ и интегрирование не проходит. Один из возможных подходов заключается в том, чтобы перенести нелинейность в правую часть и рассматривать это все как линейное уравнение Стокса. В этом случае для $p > 3/2$ просматриваются оценки вида
$\| u\| < C(\| f\| +\| u\|^2)$
Откуда можно надеяться, что удастся доказать разрешимость для "малых" $f$. Но не очень ясно как это доказывать.
Если же отказаться от предположения малости $f$, то от такой оценки вообще нет никакого толка.

[Oleg Zubelevich]

для такой $f$ естественней рассматривать $\Delta_p$

[sup]

Ага ... а там тогда другие "грабли" заготовлены
Там возникает условие $p \geqslant \frac {3n}{n+2}$ (в нашем случае $n=3$).
(См. Лионс стр. 228 условие (5.52))
У Лионса снятие этого ограничения отмечено как проблема.