Окружности, построенные на двух высотах треуг. как на диам.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Хочу доказать, что окружности, построенные на двух высотах треугольника (пока остроугольного), как на диаметрах, всегда пересекаются, причём одна точка пересечения лежит вне треугольника, а одна- внутри. Не хочется применять слишком громоздких вычислений.

Пусть данный треугольник- $ABC$, высоты $AA_1$, $BB_1$, первая окружность, построенная на высоте $AA_1$, как на диаметре- окр.1, а вторая окружность, построенная на высоте $BB_1$, как на диаметре- окр.2.
Заметим, что касаться окружности точно не могут ( а вот это уже важно!) Предположим, что окружности пересекаются. Тогда существует точка пересечения $D$ окр.1 и окр.2, допустим, внутри треугольника $ABC$. По теореме о вписанном угле, радиусы описанных окружностей треугольников $ADB_1$ и $BDA_1$ должны относиться как $\frac{AB_1}{BA_1}$. Обозначим эти центры, как $O_1$ и $O_2 $соотв. Примем $AB_1=x$. Тогда найдётся расстояние $O_1O_2$. Но нужно дополнительное условие, чтобы найти $x$. Помогите найти его. Рисунок скоро будет, не беспокойтесь.




-- 22.02.2013, 21:07 --

кстати, я поэксперементировал: в данном чертеже, если соединить точки пересечения окр.1 и окр.2, отрезок, их соединяющий, пройдёт через ортоцентр треугольника $ABC$.