обратная теплопроводность

[Oleg Zubelevich]

Пусть $M\subset\mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей.

Рассмотрим задачу

$$u_t=-\Delta u+f(t,x,u,\nabla u),\quad x\in M$$

Функция $f:\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ гладкая и ограниченная.

Доказать, что задача имеет ограниченное решение $u(t,x)\in C(\mathbb{R}_+,H^1_0(M))$.

[sup]

Oleg Zubelevich Вы бы так не пугали народ
Вообще говоря, это известная задача. (См. Лионс, "Некоторые методы решения ...", глава 4, поведение при больших $t$). Вкратце, решение выглядит так.
Давайте все же "обратим" время и перейдем к задаче

$$u_t-\Delta u+f(t,x,u,\nabla u) = 0$$

на полуоси $t \in (-\infty,0)$
В такой постановке "неявно" задаются начальные данные на $-\infty$ равные 0. (Это, конечно, нестрогое, но более или менее наглядное соображение).
Теперь уже ясно, что надо делать: заменять интервал $t \in (-\infty,0)$ на $t \in (-T_n,0)$ и искать приближенное решение $u_n$, задавая $u_n(-T_n)=0$. Ну а затем устремляем $T_n \to \infty$.
Равномерные оценки получаются если умножить уравнение на $u$ и проинтегрировать. Тут есть небольшая тонкость. Интегрирование по всему интервалу $t \in (-T_n,0)$ дает оценки зависящие от $T_n$. Поэтому нужно действовать хитрее. А именно, мы начинаем отслеживать точки $t_k$, в которых норма $|u|$ достигает локального максимума. И интегрируем по интервалам связанным с этими точками. Детали см. у Лионса.

[Oleg Zubelevich]

у Лионса рассматриваются задачи вида $u'=A(u)+f(t)$ где $A$ -- монотонный оператор. Очевидно, это другая задача.

-- Сб фев 23, 2013 10:40:25 --

sup в сообщении #687181 писал(а):

Вы бы так не пугали народ

а я как раз не пугаю, задача решается коротко и красиво

[sup]

Ну оператор Лапласа вполне себе монотонный оператор. Если же Вы имеете в виду нелинейное слагаемое, то оно большой роли не играет в силу ограниченности. Достаточно получить оценки на $u_t, \Delta u$. А они получаются точно так же как и у Лионса, если уравнение возвести в квадрат и проинтегрировать.
Не буду утверждать, что такое решение короткое или красивое. Но оно весьма технологическое, что на практике бывает гораздо важнее.