Непрерывность по каждой переменной и по совокупности их

[vanchopolos]

Собственно, есть вещественнозначная функция, определенная на декартовом произведении двух полных метрических пространств. Она непрерывна по каждой из переменных при фиксированной другой. Доказать, что найдется точка, в которой она непрерывна по совокупности переменных.

Это задача из Богачева - Смолянова. Если хоть в одном из пространств есть изолированные точки, то все тривиально. Если нет, то не понимаю, как подступиться. Интуитивно кажется, что должна работать теорема Бэра. Прошу знающих людей направить меня в нужном направлении (решать за меня задачу не нужно!).

[vanchopolos]

Ну неужели нет знающих людей? )

[lyuk]

Попробуйте доказать, что множество всех точек, в которых колебание по совокупности переменных меньше, чем $\varepsilon$, открытое и плотное.

Для этого, полезно было бы рассмотреть множества $A_n=\{(x,y):|u-x|_X<\frac1n\Rightarrow |f(x,y)-f(u,y)|<\varepsilon\}\cap\{(x,y):|y-v|_Y<\frac1n\Rightarrow |f(x,y)-f(x,v)|<\varepsilon\}$.

[lyuk]

На самом деле, тут проще доказать, что на каждой горизонтальной и вертикальной прямой всюду плотное множество точек совокупной непрерывности.

Рассмотрите множества $A(n,\varepsilon)=\{x\in X:|y-y_0|_Y\leq\frac1n\Rightarrow|f(x,y)-f(x,y_0)|\leq\varepsilon\}$.

Дальше $A=\cap_{m\in\mathbb N}\cup_{n\in\mathbb N}{\rm int}(A(n,\frac1m))$ и $f$ непрерывно в каждой точке множества $A\times \{y_0\}$.