Сечение, доказательство.

[belo4ka]

Задача -- найти площадь сечения единичного куба, проходящего через точки $A,E,D$.

Очевидно, что это сечение $AEGD$ и площадь сечения равна $\sqrt{2}$

Вопрос вот в чем -- как доказать, что сечение именно четырехугольник $AEGD$. Это мне очевидно, но объяснить не могу строго...

Какую литературу по построению простых сечений посоветуете? Какие есть методы построения сечений? Слышал лишь про метод следов...

[iifat]

Недопол. Проблема -- показать, что $G$ лежит в плоскости? На худой конец, составьте уравнение и проверьте. На несколько менее худой -- проведите плоскость через две параллельные $AE$ и $DG$ и докажите, что эти плоскости совпадают.

[belo4ka]

iifat в сообщении #686844 писал(а):

Недопол. Проблема -- показать, что G лежит в плоскости? На худой конец, составьте уравнение и проверьте. На несколько менее худой -- проведите плоскость через две параллельные AE и DG и докажите, что эти плоскости совпадают.

Спасибо, интересуют классические способы, не хочется вводить координаты. Как узнать -- лежат ли $AE$ и $DG$ в одной плоскости? Можно ли так: $AE$ лежит в плоскости сечения (так как если 2 точки прямой лежат в пл-ти,то все точки прямой лежат в этой плоскости), а значит через точку $D$ можно провести лишь одну прямую параллельную $AE$, лежащую в этой же плоскости -- то есть $DG$ (Аксиома Евклида). Можно ли так? А как доказать, что $AE$ параллельна $DG$?

[gris]

Для строгого доказательства можно использовать теоремы: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны; упомянутую Вами теорему, что через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, ей параллельную. Ну а свойства куба (какие грани и рёбра в нём параллельны, а какие перпендикулярны) обычно считаются уже известными и в рамках задачи не требующими доказательства.

[Батороев]

А можно, прямо "в лоб": "через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость, причем единственным образом".
Этот принцип использован во всех стойках, штативах и т.д., т.е. в тех опорах, которые мы называем треногами.

[iifat]

belo4ka в сообщении #686846 писал(а):

через точку $D$ можно провести лишь одну прямую параллельную $AE$, лежащую в этой же плоскости -- то есть $DG$ (Аксиома Евклида).

Аксиомы Евклида относятся, помнится, к плоскости. Хотите полного доказательства -- ищите аналог для трёхмерного пространства. Кстати, единственность параллельной прямой там сохраняется, добавляется только класс перекрещивающихся прямых -- не пересекающихся и не параллельных.

[belo4ka]

iifat в сообщении #686872 писал(а):

belo4ka в сообщении #686846 писал(а):

через точку $D$ можно провести лишь одну прямую параллельную $AE$, лежащую в этой же плоскости -- то есть $DG$ (Аксиома Евклида).

Аксиомы Евклида относятся, помнится, к плоскости. Хотите полного доказательства -- ищите аналог для трёхмерного пространства. Кстати, единственность параллельной прямой там сохраняется, добавляется только класс перекрещивающихся прямых -- не пересекающихся и не параллельных.

Ну так, я же нахожусь в плоскости сечения, используя аксиому Евклида)

-- 22.02.2013, 12:13 --

Батороев в сообщении #686869 писал(а):

А можно, прямо "в лоб": "через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость, причем единственным образом".
Этот принцип использован во всех стойках, штативах и т.д., т.е. в тех опорах, которые мы называем треногами.

Ну это да, но ведь нужно доказать, что и четвертая точка находится в этой же плоскости, а не в какой-то другой!

-- 22.02.2013, 12:14 --

gris в сообщении #686866 писал(а):

Для строгого доказательства можно использовать теоремы: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны; упомянутую Вами теорему, что через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, ей параллельную. Ну а свойства куба (какие грани и рёбра в нём параллельны, а какие перпендикулярны) обычно считаются уже известными и в рамках задачи не требующими доказательства.

спс

[BVR]

Может так проще: $AE$ параллельна $DG$ в силу транзитивности параллельности, а через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.