Мощность всех рациональных функций одного переменного

[kola1357]

Найти мощность всех рациональных функций одного переменного.
Решаю эту задачу так: пользуюсь условием, что множество рациональных чисел счетное.
Если представить множество многочленов в виде матрицы, а их коэффициенты будут рациональные, то все возможные варианты одного из коэффициентов составят счетное множество. Далее я пронумерую эти коэффициенты в матрице, значит множество коэффициентов счетное.
Далее я объединяю счетное множество коэфициентов со счетным множеством всех возможных рациональных значений одного коэффициента. Получаю в итоге счетное множество.

Вот так решал задачу, подскажите, пожалуйста, верны мои рассуждения ? Мы в институте только начали изучать математическую логику, проходим мощность множества, пока еще не очень понимаю эту тему.

[ИСН]

Понятие рациональных функций в зависимости от контекста может означать несколько разных вещей. Уточните, о чём речь.

[kola1357]

ИСН в сообщении #686236 писал(а):

Понятие рациональных функций в зависимости от контекста может означать несколько разных вещей. Уточните, о чём речь.

Найти мощность всех рациональных функций одного переменного. Вот так звучит задача, которую мне задали в институте. Что еще нужно уточнить тут, у меня на руках только листочек, в котором написана эта задача.
Просьба прокомментировать мое решение, которое я предлагаю по этой задаче.

[nikvic]

kola1357 в сообщении #686242 писал(а):

Найти мощность всех рациональных функций одного переменного.

Поинтересуйтесь, что в матанализе называется рациональной функцией.
Это не многочлены с рациональными коэфф-ми...

[gris]

Вообще-то рациональной функцией называют отношение двух многочленов с действительными коэффициентами. Очевидно, что это не подходит к Вашему решению, так как даже множество постоянных функций несчётно.

Если же понимать под рациональной функцией многочлен с рациональными коэффициентами, на что у Вас явный намёк, то идея понятна, но слова "объединение счетного множества коэфициентов со счетным множеством всех возможных рациональных значений одного коэффициента" не имеют отношения к множеству всех многочленов с рациональными коэффициентами или просто невнятно сформуированы.
Лучше подумать о счётном объединении некоторых конечных прямых произведений счётных множеств.

Если же имеются в виду рациональные функции в обычном смысле, то мощность их множества меньше, чем мощность множества вообще всех функций , но, конечно, не меньше, чем мощность континуума.

[kola1357]

gris писал(а):

Если же имеются в виду рациональные функции в обычном смысле, то мощность их множества меньше, чем мощность множества вообще всех функций , но, конечно, не меньше, чем мощность континуума.

Разобрался с определением рациональной функции, а вот как доказать, что мощность их континум, я так вот понимаю, что это больше чем счетно, но как это доказывать объясните, пожалуйста.

[gris]

Покажите вначале, что множество всех (конечных) многочленов континуально. Можно через мощность множества кусочно-непрерывных функций с конечным числом кусков. Наверняка была теорема вроде мощности счётного объединения континуальных множеств.
То, что их будет континуум, Вы правильно догадались.

[kola1357]

gris писал(а):

Можно через мощность множества кусочно-непрерывных функций с конечным числом кусков.

Я так понимаю вы предлагаете каждый отрезок функции сопоставить с отрезком на прямой, а так как множество всех точек отрезка континум, значит множество точек кусочно-непрерывной континум тоже. Так можно это доказывать ?

[nikvic]

gris в сообщении #686251 писал(а):

Можно через мощность множества кусочно-непрерывных функций с конечным числом кусков.

Это слишком "криво".
Нужно бы доказывать, что континуально множество кортежей действительных чисел. Можно и шире - множество кортежей элементов бесконечного множества имеет мощность "родителя".

[gris]

Ну немножко не так. Дело в том, что множество всех непрерывных функций континуально. Впрочем, это же тоже надо доказывать. Наверное, лучше через коэффициенты. Один многочлен или два — никакой разницы. Главное, что рациональная функция задаётся конечным множеством действительных коэффициентов.

+++ а, вот у nicvic более чётко сформулировано. А про кусочную непрерывность — мне показалось, что это сразу даёт ответ.

[kola1357]

gris писал(а):

Ну немножко не так.

А если так вот, возьму частный случай $y=ax$, сделаю отображение ее точек на ось $x$, получится вся прямая, а множество точек прямой континуум. Получается множество точек $y=ax$ континуум, а раз частный случай континуум, то множество всех уже не меньше континуума.
Наверно еще надо как-то доказать, что эта мощность не выше континуума, вот тут пока не знаю как, подскажите, пожалуйста.

[gris]

Вот в том-то и дело, что надо показать, что мощность не более континуума. Множество всех фунций имеет мощность более континуума. А вот некоторые ограничения опускают эту мощность до континуума и даже меньше (Ваши рациональные коэффициенты).
Я думаю, что надо использовать свойства континуальных множеств. То есть через коэффициенты.

[kola1357]

Найти мощность всех рациональных функций одного переменного.
Решал эту задачу на контрольной так: решил взять одну из этих рациональных функций $y=10$, ее мощность континуум, потому что мощность прямой континуум. Так я утверждал, что мощность всех рациональных функций будет не меньше континуума. Но преподаватель сказал, что так нельзя решать задачу.

Решил так сделать: рассматриваю все возможные многочлены, которые конечны. Из их коэффициентов составил матрицу. Так как коэффициенты действительные, то есть там рациональные и ирациональные числа могут быть.
Значит множество всех возможных значений одного коэффициента будет континуум. Далее я помню, что у меня многочлены конечные, значит коэффициенты сами в многочлене я могу пронумеровать, их будет конечное число в этом случае. Теперь самих многочленов бесконечно много, но сами многочлены я тоже могу пронумеровать. Значит, все коэффициенты всех возможных многочленов я могу пронумеровать. Тогда их множество счетное. А множество всех возможных значений одного коэффициента континуум. Тогда получается объединение континуум множеств, число их счетное. Тогда результат будет континуум.

Вот так теперь думаю решать задачу.
Как вам такое решение ? Все ли правильно я изложил ? Если что-то не так, пожалуйста, поправьте меня.

[gris]

Вам нужно посчитать не мощность множества точек графика, а мощность множества функций. $y=10$ это одна функция. $y=11$ вторая. $y=\pi$ третья.
Идея хорошая. Функции вида $y=a$, где $a$ — действительное число, рациональны и каждой такой функции соответствует ровно одно число $a$, а каждому числу — функция. То есть мощность рациональных функций вида $y=a; a\in \mathbb R$ равна мощности континуума. То есть мощность множества всех рациональных функций заведомо не меньше.
Осталось показать, что и не больше. Ну Вы правильно это сделали. Можно про постоянные функции и не говорить.
Правда мне кажется, что корректнее говорить о мощности счётного прямого произведения континуальных множеств, а не об объединении. Или

nikvic в сообщении #686264 писал(а):

Нужно бы доказывать, что континуально множество кортежей действительных чисел. Можно и шире - множество кортежей элементов бесконечного множества имеет мощность "родителя".

[kola1357]

gris писал(а):

Осталось показать, что и не больше.

Вот тут проблема в том, что у нас не было на лекции теорем, с помощью которых можно бы было доказать, что не больше континуума.

Но вот есть такая идея, если получилось доказать, что $y=a$ функции, их множество континуум, то $y=ax$ и $y=ax+bx^2$ тоже мощность континуум, как объединение 2-ух континуум множеств, а это тоже континуум. Тогда если возьмем бесконечные многочлены, тогда получается объединение континум множеств, число которых счетно, так как сами коэффициенты мы можем пронумеровать. Тогда мощность одного бесконечного многочлена рациональной функции континуум. Теперь если взять все возможные многочлены, их мощность континнум, так как можно установить взаимно-однозначное соответствие с натуральным рядом. Тогда опять получается объединение счетных множеств, каждое из которых континуум, тоже будет континуум.

Вот так думаю доказать, что не больше континуум это. Правильно ли я рассуждаю ?