Ещё немного арифметики

[Ktina]

При каких натуральных $k$ существуют натуральные $m$ и $n$, такие что

$$(m+n)^2+3m+n=2k$$

?

[Руст]

При $m=1$ правая часть принимает значение $n^2+3n+4$, увеличивая $m\to m+k, n\to n-k$ получаем, что значения увеличивается с шагом 2 до $ n^2+5n+2=(n+1)^2+3(n+1) -2.$
Поэтому, если не разрешать нулевые значения для $m.n$ пропускаются числа $n^2+3n. n^2+3n+2$.

[Ktina]

Руст в сообщении #686102 писал(а):

При $m=1$ правая часть принимает значение $n^2+3n+4$, увеличивая $m\to m+k, n\to n-k$ получаем, что значения увеличивается с шагом 2 до $ n^2+5n+2=(n+1)^2+3(n+1) -2.$
Поэтому, если не разрешать нулевые значения для $m.n$ пропускаются числа $n^2+3n. n^2+3n+2$.

У меня получились такие числа:

4
11...13
22...26
37...43
...
Словом, от $2a^2+a+1$ до $2a^2+3a+1$ включительно для каждого натурльного $a$.

Если 0 считать натуральным, то

3...5
10...14
21...27
36...44
...
Словом, от $2a^2+a$ до $2a^2+3a+2$ включительно для каждого натурльного $a$.

А "правильный" ответ меня вообще поразил: http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=78532

[Руст]

Если m\ge0,n\ge 0$, то как раз получается представления всех четных. А так за исключением указанных, т.е. $k\not =\frac{n(n+1)}{2},\frac{n(n+1)}{2}$ (тут я записал $n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$ уменьшив на 1 $n$.

[Ktina]

Я поняла, в чём ошиблась.
Мне показалось, что $m$ и $n$ должы быть одинаковой чётности.

[Shadow]

Ktina в сообщении #686104 писал(а):

А "правильный" ответ меня вообще поразил

Странно там, действительно. Если положить $z=x+y$ получим $k=\dfrac{z(z+1)}{2}+x$ при условии $0 \le x \le z$ Формула проходит все натуральные между соседними треугольными от $T_z$ при $x=0$ до $T_{z+1}-1$ при $x=z$.
В ваших условиях, когда неравенства строгие, напредставимы треугольные к и треугольные минус единичка.