Помогите решить дифференциальное уравнение

[ecliptic]

Здравствуйте. Прошу помощи коллективного разума. Есть большое желание решить дифур и реализовать его на бытовом электрическом компьютере, скажем в пакете матлаб.

$$ \dfrac{d z'}{\sqrt{1+z'^2}} = \dfrac{p(x)}{T_0} dx.$$

При постоянном значение p(x)=const, проинтегрировав два раза, можно получить уравнение цепной линии:

$$z = \dfrac{T_0}{p} \left( \ch{ \dfrac{px}{T_0} } -1 \right) .$$

Граничные условия при $x=0: z'=0, z=0$. Постоянные: $C_1 = 0, C_2 = -\dfrac{T_0}{p}$.
Что же касается случая переменного значения заданной функции $p(x)$ (хочу рассмотреть кусочно постоянную) получил (возможны ошибки):

$$\arcsin z' = \dfrac{1}{T_0} \int\limit_0^x p(x_1) dx_1 + C_1 .$$

При $x=0, z = 0$: $C_1=0$.

$$z = \dfrac{1}{T_0} \int\limits_0^l \sh{ \left(\int\limits_0^x p(x_1) dx_1 \right) } dx_2 + C_2.$$

ГУ: $x=0, z=0.$ $C_2 = - \dfrac{l}{T_0}$.
Где-то допустил ошибку, из последнего уравнения при $p(x)=const$ не следует аналогичное ему, полученное ранее.

Помогите, пожалуйста, вывести и реализовать в матлабе график $z(x).$

[Алексей К.]

ecliptic в сообщении #685972 писал(а):

$$\arcsin z' = \ldots$$

Букову h после n потеряли.

-- 20 фев 2013, 10:29:17 --

Вижу, потом оно как-то исправилось.

-- 20 фев 2013, 10:36:11 --

Два последних интеграла --- определённые. Никаких произвольных постоянных там не должно быть.

-- 20 фев 2013, 10:51:11 --

Какая-то путаница с переменными интегрирования и пределами интегрирования.

$$z'(x) =\sh{ \left(\frac{1}{T_0}\int\limits_0^x p(\xi) d\xi\right) }$$

(с учётом того, что $z'(0)=0$).

$$z(x)= z(0)+\int\limits_0^x z'(\xi) d\xi=\ldots$$

Переписать надо аккуратно, потом искать ошибку, если есть.

[Алексей К.]

Множитель $1/T_0$ у Вас выскочил из-под синуса гиперболического.
Кстати, если $z$ и $x$ имеют размерность длины (или приписать им таковую; $T$ - длина, $p$ безразмерно; первое уравнение корректно образмерено), то наличие ошибки в выкладках обнаруживается (бросается в глаза) уже просто по анализу размерностей.

[ecliptic]

Алексей К..
Вы правы, Т из-за невнимательности вылез из-под гиперболического синуса. Постоянные равны нулю. Вот что получилось после решения днем:

$$z' = \sh{ \left( \dfrac{1}{T_0} \int\limits_0^x p(\xi) d \xi \right)}$$

$$z = \int\limits_0^x \sh{\left( \dfrac{1}{T_0} \int_0^x p(\xi_1) d \xi_1 \right) d \xi_2}$$

ГУ: $x=0, z=0, z'=0$. $C_1 = 0, C_2 = 0$ Размерности $T_0$ [Н], $p$ [Н $\cdot$ м]. Похоже на правду такое уравнение?

[Алексей К.]

ecliptic в сообщении #686244 писал(а):

$$z = \int\limits_0^x \sh{\left( \dfrac{1}{T_0} \int_0^x p(\xi_1) d \xi_1 \right) d \xi_2}$$

Это уравнение, если присмотреться, имеет вид

$$z = \int\limits_0^x \sh{\left(\vphantom{\int\limits^0_0}f(x)\right) d \xi_2},$$

а соображения разумности требуют под интегралом функцию от $\xi_2$, типа $\sh f(\xi_2)$.

-- 20 фев 2013, 20:19:32 --

А ещё есть буквы u, v, t... Я просто очень люблю букву кси, это чисто личное, копировать было не обязательно.

[ecliptic]

Алексей К.
Благодарю за разъяснение!

-- 20.02.2013, 21:04 --

xd на wolfram'e тоже везде пишут кси. Зато видно сразу замену. Еще выводить и выводить мне формулы, возьму на вооружение -- поможет привести записи в порядок. Эх, механика, такая механика.

[Алексей К.]

Надеюсь, Вы поняли разницу. Если $z(x) = \int\limits_0^x \sh{\left( \dfrac{1}{T_0} \int_0^x p(\xi_1) d \xi_1 \right) d \xi_2}$, то, например,

$$z(5) = \int\limits_0^5 \sh{\left( \underbrace{\dfrac{1}{T_0} \int_0^5 p(\xi_1) d \xi_1 }_{\text{например, 7,23}}\right) d \xi_2} = \int\limits_0^5 \sh( 7,23)\, d \xi_2= \sh (7,23) \int\limits_0^5 d \xi_2=690,11\,\cdot\,5$$

--- мы интегрируем константу $g(5)=\sh(7,23)$, которую получили при первом интегрировании. Если

$$z(x) = \int\limits_0^x \sh{\left( \dfrac{1}{T_0} \int_0^{{\color{magenta}\xi_2}} p(\xi_1) d \xi_1 \right) d \xi_2}$$

--- мы интегрируем функцию $g(\xi_2)$, которую получили при первом интегрировании.

[ecliptic]

Логично, спасибо большое.