найти мощность множества

[kola1357]

Решаю задачу по математической логике: найти мощность множества всех периодических последовательностей натуральных чисел.

Я думаю, что эта мощность счетная, так как ряд натуральных чисел это счетное множество, а все возможные из них, то есть счетные множества счетных множеств тоже счетные множества. Вот такое рассуждение. Правильно я понял эту задачу, помогите разобраться, пожалуйста.

[mihailm]

kola1357 в сообщении #685895 писал(а):

...так как ряд натуральных чисел это счетное множество, а все возможные из них, то есть счетные множества счетных множеств тоже счетные множества...

Круто, но бессмысленно)
Начать надо с того что что периодическая последовательность (бесконечная) задается конечным упорядоченным набором чисел (натуральных) эти наборы различаются длиной.
Вот вам первый вопрос: сколько таких наборов длины один? какие кстати последовательности им соответствуют?

[devgen]

Возьму пару чисел $(1,2)$ Мощность множества всех периодических последовательностей из него будет равна мощности множества $N$, биекцию построим по длине периода:

$(1,2,1,2...) \mapsto 1$
$(1,1,2,2,1,1,2,2...)\mapsto 2$

$...$

Таких пар/троек/.etc мы может из $N$ выбрать $2^N$. Значит множество всех таких множеств мощнее $N$
Очень криво конечно

[ИСН]

[devgen]

ИСН

Буду рад, если скажете в чём ошибка, потому что сам только начал изучать эту тему.

[ИСН]

Таких пар (троек и т.д.) мы можем выбрать $\mathbb N^2,\,\mathbb N^3$ и т.д.
А $2^\mathbb N$ - это, например, сколько будет бесконечных рядов из нулей и единичек.

[kola1357]

mihailm в сообщении #685908 писал(а):

Вот вам первый вопрос: сколько таких наборов длины один? какие кстати последовательности им соответствуют?

Наборов таких 10
Вот такие последовательности им соответствуют.
0000...
1111...
222...
333...
444...
555...
6...
7...
8...
9...

[ИСН]

Поискал поиском слово "цифр" в этом треде. Не нашёл.
А что, после 9 чисел нет? С 10 начинаются Нечисла?

[devgen]

ИСН

Это да, я сначала не то написал. А если я хочу сразу узнать, сколько я могу выбрать и пар и троек и т.д.?
У меня $N$ чисел и каждое я либо беру в свою основу последовательности, либо нет. Получается ведь $2^N$

[ИСН]

Это смотря где останавливается Ваше "и т.д."; если нигде, то да, так и будет. Но у нас в условии сказано кое-что на этот счёт.

[devgen]

Вы имеете ввиду, что чтобы последовательность была периодической нужно, чтобы "и т.д" где-нибудь закончилось?

[ИСН]

Именно!

[devgen]

Я тогда это не очень понимаю, как одновременно мы можем взять для основы последовательности и больше любого наперед заданного, но, в то же время, только конечное число.

[ИСН]

А вот так. Ну Вы про периодические десятичные дроби, например, знаете же? Если период есть, то это рациональные числа, а у которых не - те ирр. А какой можно брать период? Да какой угодно. Хоть 100500. Но период.

[devgen]

Получается, мы на вопрос: "а сколько их, таких?" -- можем сказать только, что счетное число?