16 чисел

[Ktina]

Дано 16 вещественных чисел

$$x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots ,\quad x_{16}$$

Для любого $2\le n\le 15$ справедливо

$$x_n(x_{n-1}-x_{n}+x_{n+1})<0$$

Какое наименьшее количество положительных чисел может быть среди этих шестнадцати?
А какое наименьшее количество отрицательных?

[Руст]

У меня получается 5. Поворот в комплексной плоскости на угол меньше чем на $\frac{\pi}{4}$.

[Ktina]

Руст в сообщении #685900 писал(а):

У меня получается 5. Поворот в комплексной плоскости на угол меньше чем на $\frac{\pi}{4}$.

А у меня 4. Сейчас напишу пример.

-- 19.02.2013, 23:02 --

1 3 1 -3 1 3 1 -3 1 3 1 -3 1 3 1 -3

-- 19.02.2013, 23:07 --

Опечатку уже исправила.

[Руст]

Я вижу у вас $12$ положительных а не 4. Спрашивается какое наименьшее число положительных.

[Ktina]

Руст в сообщении #685926 писал(а):

Я вижу у вас $12$ положительных а не 4. Спрашивается какое наименьшее число положительных.

Там минус перед четырьмя троечками.
Вот так:

$$1, 3, 1, -3, 1, 3, 1, -3, 1, 3, 1, -3, 1, 3, 1, -3$$

-- 19.02.2013, 23:42 --

Если заменить все плюсы на минусы и наоборот, получится 4 положительных и 12 отрицательных.

-- 19.02.2013, 23:55 --

И такой набор тоже будет удовлетворять условию задачи.

[Null]

Больше 3 положительных рядом стоять не может.

[Ktina]

Null в сообщении #686062 писал(а):

Больше 3 положительных рядом стоять не может.

Абсолютно верно, как и больше трёх отрицательных.
Нули могут быть только на концах, но они на ответ не влияют.

[Руст]

Я в повороте немного ошибся. Кажды поворот от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$. Соответственно, можно 4 одного знака с двумя другого. Получается минимум 4.

[Ktina]

Руст, Вас не затруднит написать, как Вы через комплексную плоскость решили?

[Руст]

Можно считать $x_k=Re z_k$, где $z_{k+1}=x_{k+1}+ix_k$ получается поворотом с точностью до положительного множителя.
Так как условие $x_{n+1}=a_nx_n-x_{n-1}\to a_n-1<0$ поворот получается от $\frac{\pi}{4} до $\frac{\pi}{2} в зависимости от выбора $a_n<1.$