Кусок в числе

[Terraniux]

Всем здравия!
Еще одна моя задачка. На сей раз (2 задачи) даже идей по решению нету.
1. Может ли при каком-нибудь $n$ в числе $f(n)$ встретиться четыре цифры 2,0,1,2 в таком порядке, если
а) $f(n) = 1!+2!+...+n!$
б) $f(n) = 1^1+2^2+...+n^n$
в) $f(n) = n^n^\idots^ n$ ($n$ возведений в степень)
г) $f(n)$ - произвольная возрастающая функция, определенная на $\mathbb N$

[mihailm]

Пункт г) какой-то странный - в произвольной возрастающей может встретиться, а может и не встретиться

[Gh0stik]

Terraniux в сообщении #685514 писал(а):

Всем здравия!
Еще одна моя задачка. На сей раз (2 задачи) даже идей по решению нету.
1. Может ли при каком-нибудь $n$ в числе $f(n)$ встретиться четыре цифры 2,0,1,2 в таком порядке, если
б) $f(n) = 1^1+2^2+...+n^n$
[/math]

Для данного пункта может, по крайней мере так говорит http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%7Bi%3D1%7D%5E677+i%5Ei:
Число $f(677)=\sum \limits_{i=1}^{677} i^i $ содержит в себе искомую последовательность, оно состоит из 1917 знаков.

Кусок числа:
...766592411022239076653070448420129316424...

Думаю что есть и меньшие значения $N$...

[Terraniux]

Есть ли какой-нибуь способ найти для произвольного $n$? Без вычислений, чтобы охватить все числа. Должен же быть.

[gris]

Такие задачи редко имеют общее решение.
Либо удаётся указать конкретное число с заданным фрагментом, либо обнаружить какие-то закономерности, по которым такого фрагмента быть не может.
Ну, например, для пункта г) некоторая функция может давать числа, состоящие только из чётных или нечётных цифр. Тогда увы. Но если таких закономерностей невозможно обнаружить, то ответ скорее "да".
Вот более простая задача: может ли в числе $\pi$ идти подряд 2013 единиц?

[Terraniux]

gris в сообщении #686290 писал(а):

Такие задачи редко имеют общее решение.
Либо удаётся указать конкретное число с заданным фрагментом, либо обнаружить какие-то закономерности, по которым такого фрагмента быть не может.
Ну, например, для пункта г) некоторая функция может давать числа, состоящие только из чётных или нечётных цифр. Тогда увы. Но если таких закономерностей невозможно обнаружить, то ответ скорее "да".
Вот более простая задача: может ли в числе $\pi$ идти подряд 2013 единиц?

Неизвестно. Для этого придется вычислять число $\pi$ пока не умрешь пока компьютер тормозить не начнет.
Задачу с куском можно рассматривать в других системах счисления...

[gris]

Ну в двоичной двойки точно не будет .
Или Вы имеете в виду фрагмент из цифр той же системы? Тогда да, конечно.

[Terraniux]

gris в сообщении #686323 писал(а):

Ну в двоичной двойки точно не будет .
Или Вы имеете в виду фрагмент из цифр той же системы? Тогда да, конечно.

Ну, по сути, да, проще говоря: будет ли хотя бы одно число из $f(n)$ иметь вид $\cdots 2012 \cdots$.