Логарифмическое неравенство

[yonkis]

$\log_5^2 (x-8)-6\log_5 (\sqrt{x-8})\geq 4-25(x-8)\cdot (\log_5 (x-8)-4)$
решение:
вопрос: почему неравенство вдруг превратилось в уравнение?

[gris]

Метод интервалов и состоит в нахождении нулей и точек разрыва функции, то есть решения уравнения вместо неравенства.

[yonkis]

gris ясно. тогда еще вопрос: как решить, не используя метод интервалов?

[gris]

Можно попробовать через систему неравенств, разложить на множители. В общем, то же самое. Единственное, что здесь будет смешанное неравенство: с показательной и линейной частью. В школе такие решаются только через соображения монотонности и подбор корня.

[yonkis]

я пробовал решать как на фото, но только неравенством, получилась совокупность:
$t\leq -2$
$t\geq 4$
и возникла проблема, как вернуться к исходной переменной, у нас ведь замена не вида $t=...$

[gris]

$t\geqslant 4 \Rightarrow 5^t\geqslant 5^4 =625 \Rightarrow x=5^t+8 \geqslant 633$
Аналогично $t\leqslant -2 \Rightarrow 5^t\leqslant 5^{-2} ...$
Надо ещё учесть ОДЗ или область определения $x>8$.

[yonkis]

разобрался, спасибо