как в аксиоматич. теории множеств выводится a \notin a

[epros]

Не подскажете, откуда именно в аксиоматической теории множеств выводится $a \notin a$?
Как это можно доказать без аксиомы выбора (если можно)?

[Someone]

Это специальная аксиома, называемая аксиомой регулярности (или фундирования). Из аксиомы выбора она не следует.
Читайте книжку Куратовского и Мостовского, которую я Вам рекомендовал. Кстати, там и про определение ординалов найдёте.

Ещё рекомендую:

Справочная книга по математической логике. Часть I. Теория моделей. Москва, "Наука", 1982.
Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Справочная книга по математической логике. Часть III. Теория рекурсии. Москва, "Наука", 1982.
Справочная книга по математической логике. Часть IV. Теория доказательств и конструктивная математика. Москва, "Наука", 1983.

Во второй части - интересная статья Шенфилда о происхождении аксиом теории множеств.

[epros]

Someone писал(а):

Это специальная аксиома, называемая аксиомой регулярности (или фундирования). Из аксиомы выбора она не следует.

Она же - "аксиома основания"? Насколько я понял, она утверждает, что непустое множество содержит единственный элемент ("основание" множества), не пересекающийся с множеством. Если я правильно понял, то как отсюда следует $a \notin a$?

[Someone]

epros писал(а):

Someone писал(а):

Это специальная аксиома, называемая аксиомой регулярности (или фундирования). Из аксиомы выбора она не следует.

Она же - "аксиома основания"? Насколько я понял, она утверждает, что непустое множество содержит единственный элемент ("основание" множества), не пересекающийся с множеством. Если я правильно понял, то как отсюда следует $a \notin a$?

Термин "аксиома основания" не встречал. Аксиома регулярности (фундирования) в действительности формулируется так:

$$\exists y(y\in x)\to\exists y\in x\forall z\in y(z\notin x)$$

,
то есть, для всякого непустого множества $x$ существует такой элемент $y\in x$, что $y\cap x=\varnothing$. Про единственность тут ничего не говорится.
Из неё действительно следует, что $x\notin x$: если $x\in x$, то для множества $\{x\}$ аксиома регулярности не выполняется, так как $x$ - единственный элемент множества $\{x\}$, и $x\cap\{x\}=\{x\}\neq\varnothing$.

Но Вы читайте литературу. Я ведь на все Ваши вопросы ответить не смогу.

[epros]

Someone писал(а):

Термин "аксиома основания" не встречал. Аксиома регулярности (фундирования) в действительности формулируется так:

$$\exists y(y\in x)\to\exists y\in x\forall z\in y(z\notin x)$$

,
то есть, для всякого непустого множества $x$ существует такой элемент $y\in x$, что $y\cap x=\varnothing$. Про единственность тут ничего не говорится.

Да, я её и имел в виду (про единственность это я сгоряча - перепутал с аксиомой подстановки). Только, наверное:
$\exists y((y\in x)\to \forall z\in y(z\notin x))$?
т.е. имеется в виду один и тот же $y$ до и после импликации, и квантор существования относится именно к нему.

Someone писал(а):

Из неё действительно следует, что $x\notin x$: если $x\in x$, то для множества $\{x\}$ аксиома регулярности не выполняется, так как $x$ - единственный элемент множества $\{x\}$, и $x\cap\{x\}=\{x\}\neq\varnothing$.

Да, спасибо, я понял. Т.е. нужны только три аксиомы:
1. Нулевого множества (поскольку аксиома фундирования применяется только к непустому множеству $x$),
2. Пары (чтобы образовать $\{x\}$ из $x$) и
3. Фундирования

Someone писал(а):

Но Вы читайте литературу. Я ведь на все Ваши вопросы ответить не смогу.

Да, я потихоньку читаю, просто не всегда быстро могу найти ответ на некоторые простые вопросы. Например, в Куратовском и Мостовском теория множеств излагается в первую очередь с позиций "здравого смысла" и "очевидности" - т.е. про аксиоматику речь заходит только тогда, когда добрая половина понятий уже определена на уровне этого самого "здравого смысла", а мне в данном случае интересен именно формальный аспект - откуда что берётся, т.е. чего мы лишимся если потеряем в аксиоматике то-то или то-то.

Например, для ординалов отношение полного порядка совпадает с $\in$. В частности, для этого отношения между ординалами выполняется аксиома полноты: $a \in b \vee b \in a$ для двух любых разных ординалов $a$ и $b$. Но в Куратовском и Мостовском ординалы вводятся как "типы вполне упорядоченных множеств", т.е. мы уже заложили в их определение полную упорядоченность. А мне как раз интересно обратное - если мы определяем ординал как транзитивное множество, каждый элемент которого тоже является транзитивным множеством, то как (с использованием каких аксиом) отсюда доказать, что отношение между ординалами является отношением полного порядка. Там я этого не нахожу...

[Someone]

epros писал(а):

Только, наверное:
$\exists y((y\in x)\to \forall z\in y(z\notin x))$?
т.е. имеется в виду один и тот же $y$ до и после импликации, и квантор существования относится именно к нему.

Нет, это разные "игреки". До импликации сформулировано условие "$x\neq\varnothing$". А после импликации - заключение "существует множество $y\in x$, не пересекающееся с $x$". Поэтому вернитесь к моей формулировке. Ваша очень странная: "существует такое множество $y$, что если $y\in x$, то $y\cap x=\varnothing$". Очевидно, годится любое $y\notin x$.

[epros]

Someone писал(а):

Нет, это разные "игреки". До импликации сформулировано условие "$x\neq\varnothing$". А после импликации - заключение "существует множество $y\in x$, не пересекающееся с $x$". Поэтому вернитесь к моей формулировке. Ваша очень странная: "существует такое множество $y$, что если $y\in x$, то $y\cap x=\varnothing$". Очевидно, годится любое $y\notin x$.

Да, я согласен, был неправ. Похоже, что для доказательства антирефлексивности $\in$ достаточно двух аксиом (пары и фундирования) - аксиома пустого множества, как я полагаю, не нужна, поскольку это доказывается для непустого множества, а для пустого (если оно существует) доказательство отдельное и тривиальное.

А где поискать про доказательство $a \ne b \to a \in b \vee b \in a$ для ординалов $a$ и $b$ не подскажете?

[Someone]

epros писал(а):

А где поискать про доказательство $a \ne b \to a \in b \vee b \in a$ для ординалов $a$ и $b$ не подскажете?

В книге Куратовского и Мостовского - Глава VII, § 1, Теорема 9 и далее § 2, Теорема 1.

В "Справочной книге по математической логике" - часть II, Глава 1, § 5, после Теоремы 5.3 формула (7).