Теория вероятности - В какой книжке искать задачи...

[Slumber]

Подскажите пожалуйста задачники по ТВ с указаниями или решениями, где можно найти задачи, подобные таким:

1. Доказать, что для каждой $\mathbb{C}$ - измеримой величины $\zeta$ и огранниченой борелевксой g имеет место равенство $E(g(\xi,\zeta)|\mathbb{C}) = E(g(\xi,\zeta)|\mathbb{C})_{y=\zeta}$.
2. Доказать тождество $D\xi = ED(\xi | \mathbb{C})+DE(\xi | \mathbb{C})$
3. Доказать неравенство Коши $(E(\xi,\eta|\mathbb{C}))^2 \leq (E(\xi^2|\mathds{C}))(E(\eta^2|\mathbb{C}))$ п.н.
4. Случайные величины $(\xi_n)$ интегрируемы и мажорированы сверху $\xi_n \leq \eta$, $E|\eta|<\infty$. Доказать, что $\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty}E(\xi_n|\mathbb{C}) \leq E(\overline{\lim}_{n \rightarrow \infty}\xi_n|\mathbb{C})$
5. Доказать обобщенную формулу Байеса: для $A \in \mathbb{F}, H \in \mathbb{C}$: $P(H|A)=(E\mathbb{I}_HP(A|\mathbb{C})/EP(A|\mathbb{C})$.
6. Случайные величины $\xi, (\xi_n,n \geq 1)$ таковы, что $\xi_n \rightarrow \xi, n \rightarrow \infty, |\xi_n|\leq \eta, E\eta < \infty$, а сигма-алгебры $\mathbb{C}_k$ не возрастают по k и $\bigcap\mathbb{C}_k=\mathbb{C}_{\infty}$. Доказать, что $E(\xi_n|\mathbb{C}_k)\rightarrow E(\xi|\mathbb{C}_{\infty}),n,k \rightarrow \infty$ почти наверняка и в среднем.

И так далее в том же духе. Пожалуйста, очень нужна книжка, желательно из которой эти задачи брались. Есть Дороговцев, Прохоров, Ширяев - но они чуть другие. Да, некоторые есть в Дороговцеве. А откуда брал задачи Дороговцев?

-- 15.02.2013, 01:37 --

7. Посчитать $E(\xi|\sin\xi)$, E(\xi|\xi^2),E(\xi| |\xi|).

8. Обобщить утверждение теоремы про нормальную регрессию на плоскости на случай нормального вектора $(\xi_1,\xi_2)\simeq N_{d_1+d_2}(\mu_1,\mu_2,V_1,V_2,Q_{12})$

9. Доказать равенство $m(y)=E(\xi | {\eta=y}) = E(\xi\mathbb{I}_{{\eta=y}})/P(\eta=y)$ для случая $P(\eta=y)>0$.

Караул!

[Slumber]

Ладно, комиссия в понедельник, давайте тогда попробую их решать.

№2 решена.

Начну с 3й.
У меня была опечатка:
$(E(\xi\eta|\mathbb{C}))^2 \leq (E(\xi^2|\mathds{C}))(E(\eta^2|\mathbb{C}))$ п.н.

У меня есть два подхода:

Я умножаю два неравенства Йенсена (квадрат - выпуклая вниз):

$(E(\xi|\mathbb{C}))^2 \leq E((\xi)^2|\mathbb{C})$
$(E(\eta|\mathbb{C}))^2 \leq E((\eta)^2|\mathbb{C})$
Выходит
$(E(\xi|\mathbb{C})\cdot E(\eta|\mathbb{C}))^2 \leq E((\eta)^2|\mathbb{C}) \cdot E((\xi)^2|\mathbb{C})$
что делать с величинами внутри, непонятно. Можно внести одно из условных ожиданий внутрь другого, т.к. оно $\mathbb{C}$ - измеримо.

Второй вариант - по определению условного матожидания (условие баланса) на нашей под-сигмаалгебре и из неравенства Коши для интеграла Лебега:
$\forall A \in \mathbb{C}$:

$(\int\limits_A E(\xi\eta|\mathbb{C}) dP)^2 \equiv (\int\limits_A (\xi\eta) dP)^2 \leq (\int\limits_A (\xi)^2 dP)(\int\limits_A (\eta)^2 dP) \equiv (\int\limits_A E((\xi)^2|\mathbb{C}) dP)(\int\limits_A E((\eta)^2|\mathbb{C}) dP)$

Тут непонятно, как убрать интегралы, по-моему это и нельзя сделать никак, к тому же, хотелось бы более "вероятностного" доказательства.

[Slumber]

Появилась идея воспользоваться определением через регулярную условную вероятность, так как она - интеграл:
$E(\xi|\mathbb{C})(\omega) =\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)P(d\omega,\omega)$ п.н.
У нас тогда должна существовать регулярная условная вероятность $P(A,\omega)$ на $\mathbb{C}$, что вроде бы всегда(?) выполняется (у меня в методичке написано на $\mathbb{F}$, у нас $\mathbb{C}$ - подалгебра $\mathbb{F}$, $\Omega$ - пространство элементарных событий).
Для интегралов можно, я так думаю, написать вышеприведенное неравенство Коши для каждого $\omega$:
$(E(\xi\eta|\mathbb{C})(\omega))^2 \equiv (\int\limits_{\Omega}(\xi\eta)(\omega)P(d\omega,\omega))^2 \leq (\int\limits_{\Omega}(\xi(\omega))^2P(d\omega,\omega))(\int\limits_{\Omega}(\eta(\omega))^2P(d\omega,\omega)) \equiv (E(\xi^2|\mathbb{C})(\omega))(E(\eta^2|\mathbb{C})(\omega))$

Вроде что-то получилось...

[Slumber]

Номер 4 по идее обычные неравенства Фату для интеграла $E(\underline{\lim} \xi_n|\mathbb{C}) \leq \underline{\lim} E(\xi_n|\mathbb{C}) \leq \overline{\lim} E(\xi_n|\mathbb{C})\leq E(\overline{\lim} \xi_n|\mathbb{C})$

Есть свойство $\xi_1 \leq \xi_2 \Rightarrow E(\xi_1|\mathbb{C}) \leq E(\xi_2|\mathbb{C})$.

Попробую переделать доказательство из моей методички для обычных матожиданий:
Обозначим $\zeta_n = \inf_{k\geq n}\xi_k$. Тогда по определению $\zeta_n \uparrow \underline{\lim}_{n \rightarrow \infty}\xi_n$ - это наша подпоследовательность и $\zeta_n \geq -\eta$.
$0\leq \zeta_n+\eta \uparrow \underline{\lim}\xi_n + \eta$.
Дальше используем теорему Лебега про монотонную сходимость, благодаря тому, что условное матожидание - тоже интеграл(мера - регулярная условная вероятность):
$E( (\underline{\lim}\xi_n + \eta) |\mathbb{C}) = E((\lim\zeta_n + \eta) |\mathbb{C}) = E(\lim(\zeta_n + \eta) |\mathbb{C}) = |$ *теорема Лебега* $|=\lim E((\zeta_n + \eta) |\mathbb{C})=\lim E(\zeta_n|\mathbb{C})+E(\eta |\mathbb{C})=$
$\underline{\lim} E(\zeta_n|\mathbb{C})+E(\eta |\mathbb{C})\leq \underline{\lim} E(\xi_n|\mathbb{C})+E(\eta |\mathbb{C})$.
Сокращаем в начале и в конце $E(\eta |\mathbb{C})$, получаем первую пару неравенств Фату:
$E(\underline{\lim} \xi_n|\mathbb{C}) \leq \underline{\lim} E(\xi_n|\mathbb{C})$.

Правая пара $\overline{\lim} E(\xi_n|\mathbb{C})\leq E(\overline{\lim} \xi_n|\mathbb{C})$, собственно и спрашиваемая в задаче, согласно указанию, выйдет, если подставить $-\xi_n$ вместо $\xi_n$ и воспользоваться тем, что $\underline{\lim}(-\xi_n) = - \overline{\lim}\xi_n$ и $\overline{\lim}(-\xi_n) = - \underline{\lim}\xi_n$. Вроде так и есть, при умножении на -1 знак изменится. Но я нигде не видел доказательства этого последнего утверждения для верхних и нижних пределов. Выглядит оно как-то странно, как на меня - разве по верхнему/нижнему пределу однозначно предсказывается другой?

[Slumber]

Номер 5.

Доказать обобщенную формулу Байеса: для $A \in \mathbb{F}, H \in \mathbb{C}$: $P(H|A)=(E\mathbb{I}_HP(A|\mathbb{C}))/EP(A|\mathbb{C})$.

Начинаю подставлять определения:

$P(A|\mathbb{C}) \equiv E(\mathbb{I}_A|\mathbb{C})$;
тогда внизу
$E(E(\mathbb{I}_A|\mathbb{C})) = E(\mathbb{I}_A) = P(A)$.
Сверху, в выражении:
$E(\mathbb{I}_H(P(A|\mathbb{C}))= E(\mathbb{I}_HE(\mathbb{I}_A|\mathbb{C}))$
Можно воспользоваться условием баланса:
$E(\xi\mathbb{I}_H) = E(E(\xi|\mathbb{C})\mathbb{I}_H)$
Тогда
$E(\mathbb{I}_HE(\mathbb{I}_A|\mathbb{C}))=E(\mathbb{I}_H\mathbb{I}_A) = P(H\cap A)$.
Получили
$P(H|A) \equiv P(H\cap A)/P(A)$.

Есть вообще кто-то, кто мог бы прокомментировать мои решения?

-- 16.02.2013, 20:10 --

Номер 9.

Значит, я так понимаю, что $E(\xi|\eta) = m(\eta)$ - некоторая измеримая функция от $\eta$, а $E(\xi|\eta=y) = m(y)$ - число.
Так, как в случае $\eta=y$ прообраз у нас всего одно множество и сигма-алгебра $\sigma[\eta=y]$ - вырождена,то у нас для этого единственного множества и запишется условие баланса:

$E(\mathbb{I}_{\eta=y}\xi) = E(\mathbb{I}_{\eta=y}m(y))$,
подставляем m(y), учитываем, что $P(\eta=y)=E\mathbb{I}_{\eta=y}$:
$E(\mathbb{I}_{\eta=y}\xi) = E(\frac{\mathbb{I}_{\eta=y}E(\xi\mathbb{I}_{\eta=y}) }{E\mathbb{I}_{\eta=y}} )$
Оба матожидания в скобках - постоянные, так как y фиксировано, мы выносим их за скобки:
$E(\mathbb{I}_{\eta=y}\xi) = \frac{E(\xi\mathbb{I}_{\eta=y}) }{E\mathbb{I}_{\eta=y}}E\mathbb{I}_{\eta=y}$.
Все сокращается.


Но я пока без понятия, как решать, скажем 7 или 1.
В 1 опечатка:
1. Доказать, что для каждой $\mathbb{C}$ - измеримой величины $\zeta$ и огранниченой борелевской g имеет место равенство $E(g(\xi,\zeta)|\mathbb{C}) = E(g(\xi,y)|\mathbb{C})_{y=\zeta}$.

А в 7 плотность строго положительна, я не дописал. Просто когда пытаюсь или взять обратную функцию, чтобы подогнать под свойство, или считать через совместные плотности - выходит слишком сложно. Никто не хочет помочь? Я велосипед изобретаю, а тут наверное метод какой-то.

[--mS--]

Что-то не видать знатоков "Вероятности" А.Н.Ширяева, а для меня это слишком сложно

Утверждение из первой задачи, например, в учебнике А.А.Боровкова доказано с помощью теоремы о монотонной сходимости УМО и приближения величины $\zeta$ дискретными. Гл.4, параграф 8, последнее свойство.

Кстати, там же неравенство Коши - Буняковского (3-я задача) предлагается доказывать исходя из свойств линейности и обычных неравенств для УМО - ровно так, как доказывается любое неравенство К.-Б.: $0\leqslant (a\pm b)^2$, следовательно $|ab|\leq \frac12(a^2+b^2)$, а дальше берём $a=\frac{\xi}{\sqrt{\mathsf E(\xi^2|\mathbb C)}}$, $b=\frac{\eta}{\sqrt{\mathsf E(\eta^2|\mathbb C)}}$ - величины, у которых второй условный момент относительно $\mathbb C$ равен п.н. единице, т.к. измеримые относительно $\mathbb C$ случайные величины (а именно, знаменатель) можно выносить за знак УМО. Подставляем обе величины в неравенство и, пользуясь монотонностью п.н. УМО, берём от обеих частей УМО.

[Slumber]

Спасибо большое за книжку и помощь, а то у меня по этой теме ничего подробного нет, кроме моей методички и Ширяева.

По поводу регулярной условной вероятности. Ширяев в задачнике на стр 110 предлагает доказывать неравенство Йенсена при помощи регулярного условного распределения (как я понял).

/* Хотя у меня есть как минимум еще пара доказательств значительно проще, хотя бы из условия выпуклости $g(x)\geq g(x_0) + k(x_0)(x-x_0), \forall x \in \mathbb{R}$, а дальше - по той же схеме, что Вы предложили для неравенства Коши. Положим $x=\xi, x_0=E(\xi|\mathbb{C})$, дальше, взять от обеих частей УМО, пользуясь его монотонностью.*/

Но у меня вопрос не в этом, а когда можно говорить о существовании р.у.в.? У Ширяева несколько теорем, и она вот таким образом применена в задаче(а я ее применил для моих неравенств Фату), а у нас - только одна теорема, что р.у.в. существует, если $\mathbb{F} = \sigma[\xi]$ для некоторой с.в. $\xi$, а $\mathbb{C} \in \mathbb{F}$ - под-сигма алгебра. Тогда существует р.у.в. $P(A,\omega) $ на $\mathbb{C}$.

Из нашей методички следует, что р.у.в.существует не всегда, даже если существует УМО. У Ширяева на стр 283 сказано, что регулярная функция распределения и регулярное условное распределение относительно под-сигмаалгебры осуществует всегда.

Может я не понял, сложный материал, я еще почитаю конечно.