Все ли числа составные (журнал "Квант")?

[Ktina]

Все ли числа вида

$$6^p+p^6$$

, где $p\in\mathbb P$, составные?

[Shadow]

по модулю 7, что ли. исключения $p=2,7$

[Ktina]

Shadow в сообщении #683622 писал(а):

по модулю 7, что ли. исключения $p=2,7$

$$p\in\{2, 7\}\to 5|6^p+p^6$$

-- 13.02.2013, 23:36 --

Так как $6^p$ даёт остаток -1 при делении на 7 при нечётных $p$, а $p^6$ даёт остаток 1 при делении на 7 при $p\ne 7$, имеем то, что имеем.

-- 13.02.2013, 23:37 --

В "Кванте" была, в 1981г.

-- 13.02.2013, 23:38 --

Только там вместо 6 было 2, тогда ещё проще.

[Sonic86]

Если $f(x)$ - целозначный многочлен, то множество $\{f(p): p\in\mathbb{P}\}$ имеет бесконечно много составных чисел.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #683893 писал(а):

Если $f(x)$ - целозначный многочлен, то множество $\{f(p): p\in\mathbb{P}\}$ имеет бесконечно много составных чисел.

Кажется, здесь требуется теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

[Null]

Sonic86 в сообщении #683893 писал(а):

Если $f(x)$ - целозначный многочлен, то множество $\{f(p): p\in\mathbb{P}\}$ имеет бесконечно много составных чисел.

$f(x)=x$