кососим. отображения из k-линейных отображений (вопрос 2007)

[Таня Тайс]

Прошу помочь мне понять смысл формулы, обещающей получение кососимметрии для k-линейных отображений.
(Отображение называется кососимметрическим, если при перестановке двух аргументов меняет знак.)
Пусть Т любое k-линейное отображение. Тогда Alt Т соответственно кососимметрическое k-линейное отображение.
Alt T(v(1),...,v(k))=1/k! Σ sign(σ)T(v(σ1),...,v(σk))
Я нашла эту формулу на сайте одного немецкого университета. Там написано, что если Т уже кососимметрическое, то Alt Т совпадает с Т.
sign(σ)=Π (i-j)/((σi)-(σj)) - это понятно, но сколько я не пыталась получить кососимметрию из билинейного отображения, ничего не вышло.
Прошу пояснить на примере. Заранее спасибо.

[Someone]

$\frac 12(B(x,y)-B(y,x))$

[Таня Тайс]

Но если В -билинейное, то в скобках стоит нуль?

[Dan_Te]

Почему ноль? То, что написал Someone - это Alt B(x,y). Если B - симметрическая форма, то есть
$B(x,y)=B(y,x)$, то да, в скобках будет ноль, но такое же не всегда верно.

Вот вам пример несимметрической билинейной формы: $x,y\in \mathbb R^2$,
$B(x,y)=x_2y_1$
Делаем из нее две формы:
$B_1(x,y)=\frac12(B(x,y)+B(y,x))=\frac{x_2y_1+x_1y_2}2$ и
$B_2(x,y)=\frac12(B(x,y)-B(y,x))=\frac{x_2y_1-x_1y_2}2$

Теперь $B_1$ - симметрическая, $B_2=Alt(B)$ - кососимметрическая, и в сумме они дают В. То есть, мы разложили В на симметрическую и кососимметрическую компоненты.

[Таня Тайс]

Огромное спасибо