Ещё раз про парадокс Сколема

[epros]

Я в другой теме упомянул парадокс Сколема (который, как известно, не считается парадоксом, потому что противоположные утверждения доказываются в разных теориях). Теперь я бы хотел попытаться "докопаться" с более формальных позиций, рассмотрев в том числе и фактор того, в какой именно теории доказано утверждение.

Если утверждение $P$ доказуемо в теории $T$, то я буду это обозначать как:
$T \vdash P$

Утверждение теоремы Кантора о несуществовании биекции между $\mathbb{R}$ и $\mathbb{N}$ я буду записывать как:
$\neg \exists F : \mathbb{R} \leftarrow (F) \to \mathbb{N}$ (пока не знаю, как в Tex'е набрать более красивую формулу для обозначения биекции)

Итак, расмотрим в начале некую аксиоматическую теорию множеств $M$ (например, с аксиоматикой ZFC), в которой доказуема теорема Кантора. Это записывается так:
$M \vdash \neg \exists F : \mathbb{R} \leftarrow (F) \to \mathbb{N}$ (1)

В метатеории $S$, тоже основанной на аксиоматике ZFC, доказываем теорему Лёвенхейма-Сколема. Она утверждает, что если теория $M$ имеет модель, то существует элементарно-эквивалентная ей счётная подмодель. Обозначим эту подмодель также буквой $M$ и далее будем подразумевать, что если в рамках утверждений теории $S$ встречается такой терм, то он обозначает данную модель теории $M$, каковая является счётным множеством, включающим все понятия и утверждения этой теории.

Утверждение теоремы Кантора, доказанной в теории $M$, является частью её модели, что запишется как следующее утверждение теории $S$:
$S \vdash [\mathbb{N}_M \in M \wedge \mathbb{R}_M \in M \wedge F_M \in M] \to [\neg \exists F_M : \mathbb{R}_M \leftarrow (F_M) \to \mathbb{N}_M]$ (2)

Собственно, пока нет ничего противеречащего теореме Кантора, которая может быть доказана в самой теории $S$, и которая запишется как:
$S \vdash \neg \exists F : \mathbb{R} \leftarrow (F) \to \mathbb{N}$ (3)

Утверждение о счётности множества $\mathbb{R}_M$, каковое является следствием счётности $M$ и того факта, что $\mathbb{R}_M$ является его подмножеством, также пока ничему не противоречит:
$S \vdash \exists F : \mathbb{R}_M \leftarrow (F) \to \mathbb{N}$ (4)

Но дело в том, что определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $M$, буква в букву повторяет определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $S$. Это означает, что согласно теореме Лёвенхейма-Сколема, определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $S$, принадлежит к модели $M$, причём оно равно определению $\mathbb{R}_M$! Это можно записать как следующее утверждение теории $S$:
$S \vdash \mathbb{R} = \mathbb{R}_M$ (5)

А вот (3), (4) и (5) совместно уже являются противоречивыми, поскольку являются утверждениями одной и той же теории $S$.

В чём я ошибаюсь?

[epros]

epros писал(а):

А вот (3), (4) и (5) совместно уже являются противоречивыми, поскольку являются утверждениями одной и той же теории $S$.

В чём я ошибаюсь?

После долгих раздумий в одиночестве вопрос снимаю.

Дело в том, что это, конечно, правильно:

epros писал(а):

определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $M$, буква в букву повторяет определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $S$. Это означает, что согласно теореме Лёвенхейма-Сколема, определение $\mathbb{R}$, сформулированное в теории $S$, принадлежит к модели $M$

Однако вот это уже неверно:

epros писал(а):

причём оно равно определению $\mathbb{R}_M$! Это можно записать как следующее утверждение теории $S$:
$S \vdash \mathbb{R} = \mathbb{R}_M$ (5)

Я упустил, что $\mathbb{R}_M$ определено в метатеории $S$, причём таким образом, что $\mathbb{R}_M \subset \mathbb{R}$, но $\mathbb{R}_M \ne \mathbb{R}$. А вот в самой теории $M$ такого определения нет. Так что формального противоречия тут всё же нет, хотя метатеория и "видит", что в теории множеств определено множество, содержащее неопределимые в ней элементы.

Если есть комментарии, прошу.