Наибольший общий делитель

[Ktina]

Найти наибольший общий делитель всех чисел вида

$$n^k-n$$

, где

$$n\in\mathbb Z,\quad m\in\mathbb N,\quad k=2^{2^m}-3$$

[Руст]

Взяв $n=p, m>1$ получаем, что имеется делимость на простое число $p$ не более чем в первой степени.
При $m=1$ получаем 0, делимость на любое число. При $m>1$ число $k$ дает остаток 1 и при делении на 3 и при делении на 4, т.е. $k=1\mod 12$.
Соответственно все эти числа делятся на простые $p$ в первой степени, если $p-1|12$, т.е. все они делятся на $2*3*5*7*13$.
Взяв $n=2,m=2$ получаем, что делимости на другие простые числа нет.