Многомерное ур-е теплопроводности с разравными коэфф.

[Alex2040]

Дано двумерное уравнение теплопроводности:
$a \frac{\partial u}{\partial t}$ = $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$, $a = \frac {\rho C_v} \lambda $
где $a = a_1$ или $a_2$, в зависимости от области (рисунок).
В точках разрыва задается условие идеального контакта по температуре:
$T_l$=$T_r$;
$\lambda_l$ $\frac {\partial u} {\partial x}$=$\lambda_r$ $\frac {\partial u} {\partial x}$.
Нигде не могу найти как апроксимировать идеальный контакт по температуре. Подскажите формулы или в какой литературе их можно поискать?

Для одномерного случая я видел такую формулу:
$u_i = \frac {\lambda_l} {\lambda_l + \lambda_r} u_{i-1} + \frac {\lambda_r} {\lambda_l + \lambda_r} u_{i+1} $
$u_i$, соответственно, точка разрыва.
Но там для решения использовалась явная схема. Если для решения использовать неявную разностную схему (например, схему переменных направлений), то как апроксимировать условие идеального контакта не понятно.

[worm2]

Чтобы с такими вещами не мучаться, можно идти к посконным корням уравнения теплопроводности, а именно — к интегральным уравнениям баланса, от которых получаются как сам дифур, так и условия неразрывности теплового потока (т.е. их не надо дополнительно рассматривать). К слову, если у нас какая-то граница теплоизолирована (т.е. заданы краевые условия II рода с нулём в правой части), то и эти условия получаются "автоматически".

Уравнения баланса аппроксимируются не сказать, чтобы сильно сложнее, чем дифференциальные, хотя повозиться, конечно, придётся. Зато мы получаем (дополнительно) более ясное представление о моделируемом процессе, а также полезное свойство консервативности схемы.
Сетку при этом нужно проектировать так, чтобы внутри ячеек коэффициенты не терпели разрывов, только на границах. Уравнения для узла получаются как сумма интегральных соотношений по примыкающим к узлу ячейкам (эти интегральные соотношения в конечном итоге выражаются линейно через значения в узлах сетки). Интегрирование по времени ведётся от текущего узла к будущему для явной схемы и к прошлому для неявной. Как-то так.

[Alex2040]

Я "прямого" способа численного решения задачи нет?

[ewert]

Вот Вы жалуетесь, что уравнение многомерно. Между тем разрыв в нём -- абсолютно одномерен. И, следовательно, все рецепты на этот счёт (которые Вы, как сами говорили, знаете) -- действуют.

А по существу -- да. Если коэффициент теплопроводности разрывен, то надо переходить к вариационной постановке задачи. И уже из неё вытягивать разностные уравнения. Они всегда будут так или иначе работать, но эффективно -- лишь в том случае, если узлы придутся на линию разрыва.

[Alex2040]

Ок, разрыв одномерен. Но станадртным способом решение двух- и трех-мерного уравнения теплопроводности являются схемы расщепления, которые являются неявными.
Для явной схемы, я понимаю, можно заранее найти $u_{i-1}$ и $u_{i+1}$ и по ним вычислить $u_i$ в точке разрыва. В случае метода переменных напралений (для двумерного случая), значения температуры находятся из системы линейных уранений. Корректно ли будет после решения данной системы, перестичать значения $u_i$ в точках азрыва по формулам, которые я приводил в первом посте?
Может быть вы знаете какую-нибудь литературу, где освещены подобные задачи?
По поводу перехода к вариационной постановке задачи, вопрос тот же - где можно почитать подробнее?

[worm2]

Alex2040 в сообщении #683014 писал(а):

Для одномерного случая я видел такую формулу:
$u_i = \frac {\lambda_l} {\lambda_l + \lambda_r} u_{i-1} + \frac {\lambda_r} {\lambda_l + \lambda_r} u_{i+1} $
$u_i$, соответственно, точка разрыва.
Но там для решения использовалась явная схема. Если для решения использовать неявную разностную схему (например, схему переменных направлений), то как апроксимировать условие идеального контакта не понятно.

Похоже не на непонятки с разрывными коэффициентами, а на непонимание, что такое вообще неявные схемы и с чем их едят. Или непонимание метода переменных направлений. Вот Вы выписали же уравнение, связывающее $u_{i-1}$, $u_i$ и $u_{i+1}$. Ну да, в явной схеме оно нам даёт возможность вычислить $u_i$ по простой формуле. А в неявной даёт нужное уравнение в систему. Которое только формулами для коэффициентов отличается от остальных уравнений. Главное — что оно есть, выписано. В чём проблема? Вы не понимаете, что с этой системой дальше делать? Или у Вас трудности с применением хорошо работающего в одномерном случае метода прогонки к многомерному случаю, т.е. с пониманием метода переменных направлений? Или Вы саму схему хотите заранее факторизовать по направлениям введением промежуточного слоя? Последний вопрос от предпоследнего отличается, это разные методы. Но в любом случае на этом этапе вопрос с разрывными коэффициентами уже решён.

[Alex2040]

Хорошо, положим $u_k = u_{k-1}d_1 + u_{k+1}d_2$. Тогда матрица системы преобразуется следущим образом:

$\begin{matrix} \begin{matrix} & & & & k & & & & \end{matrix} \\ \begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ \vdots & 0 & a_{k-1} & b_{k-1} & c_{k-1} & 0 & 0 & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & 0 & a_k & b_k & c_k & 0 & 0 & \vdots \\ \vdots &0 & 0 & 0 & a_{k+1} & b_{k+1} & c_{k+1} & 0 & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \end{matrix} \sim$

$\begin{matrix} \begin{matrix} & & & & k & & & & \end{matrix} \\ \begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ \vdots & 0 & a_{k-1} & b_{k-1}+c_{k-1}d_1 & 0 & c_{k+1}d_2 & 0 & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & 0 & a_k+b_kd_1 & 0 & c_k+b_kd_2 & 0 & 0 & \vdots \\ \vdots &0 & 0 & a_{k+1}d_1 & 0 & b_{k+1} + a_{k+1}d_2 & c_{k+1} & 0 & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \end{matrix} $

Тождественными преобразованиями преобразуем матрицу к трехдиагональному виду и так же решаем методом прогонки. Я правильно понимаю?

[TOTAL]

Alex2040 в сообщении #686635 писал(а):

Я правильно понимаю?

В каждой внутренней точке (включая точки разрыва коэффициента) имеем уравнение вида
$A_j u_{j-1}+B_j u_{j}+C_j u_{j+1}=D_j.$
Плюс два уравнения, аппроксимирующие граничные условия справа и слева.

Решайте. Хоть прогонкой, хоть подгонкой. Где тут правильно или неправильно понимать?

-- Чт фев 21, 2013 16:29:01 --

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\lambda \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\lambda \frac{\partial u}{\partial y}$$

$$\frac{u^{n+1}_{jk}-u^{n}_{jk}}{\tau}=\frac{1}{h_x}\left(\lambda_{j+1/2}\frac{u^{n+1}_{j+1}-u^{n+1}_{j}}{h_x}- \lambda_{j-1/2}\frac{u^{n+1}_{j}-u^{n+1}_{j-1}}{h_x} \right)$$

$$+\frac{1}{h_y} \left( \lambda_{k+1/2}\frac{u^{n+1}_{k+1}-u^{n+1}_{k}}{h_y}- \lambda_{k-1/2}\frac{u^{n+1}_{k}-u^{n+1}_{k-1}}{h_y}\right) $$

На линии разрыва $\lambda_{j}=(\lambda_{R}+\lambda_{L})/2$, $\lambda_{j\pm1/2}$ - понятно что